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經典力學方程列表

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經典力學物理學描述宏觀物體運動的分支。[1]是最熟悉的物理學理論。涵蓋如常用和已知的加速度[2]本列表基於具固定軸的三維歐幾里得空間參考系。三軸的交點稱為此空間的原點[3]

經典力學概念包括微分方程流形李群遍歷理論。各種物理量相互關聯[4]。本列表總結了其中最重要的內容。

本文列出了牛頓力學的方程,有關經典力學(包括拉格朗日力學哈密頓力學)的更一般公式,請參閱分析力學

經典力學

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質量與慣量

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通用名 通用符號 定義 國際單位制 量綱
線/表面/體積質量密度 λ或μ用於線密度(μ主要用在声学),σ用於表面,ρ用於體積。

kg mn, n = 1, 2, 3 M Ln
質量矩[5] m (沒有通用符號) 點質量:

相對固定軸的離散質量:

相對固定軸的連續質量:

kg m M L
質心 rcom

(符號不一定)

i個質量

離散質量:

連續質量:

m L
二體約化質量 m12, μ= m1 and m2 kg M
轉動慣量(MOI) I 離散質量:

連續質量:

kg m2 M L2

導出的運動學物理量

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經典粒子的運動學物理量:質量m、位置r、速度v、加速度a
通用名 通用符號 定義 國際單位制 量綱
速度 v m s−1 L T−1
加速度 a m s−2 L T−2
加加速度 j m s−3 L T−3
Jounce英语Jounce s m s−4 L T−4
角速度 ω rad s−1 T−1
角加速度 α rad s−2 T−2
加加速度 ζ rad s−3 T−3

導出的動力學物理量

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經典力學下物質的角動量。

左: 固有的自旋角動量S是物體每一點的軌道角動量

右: 對應一個軸的外在軌道角動量L

上:轉動慣量 I以及角速度ωL不一定會和ω平行)[6]

下:動量p以及其相對於軸的位置r

。總角動量(spin + orbital)為J
通用名 通用符號 定義 國際單位制 量綱
动量 p kg m s−1 M L T−1
F N = kg m s−2 M L T−2
冲量 J, Δp, I kg m s−1 M L T−1
相對一點r0角动量 L, J, S

若各質點的旋轉軸均相交在同一點,可以設定r0 = 0

kg m2 s−1 M L2 T−1
力相對一點r0力矩 τ, M N m = kg m2 s−2 M L2 T−2
角衝量 ΔL (沒有通用符號) kg m2 s−1 M L2 T−1

一般能量定義

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通用名 通用符號 定義 國際單位制 量綱
合力産生的 W J = N m = kg m2 s−2 M L2 T−2
力學系統所作的功 WON, WBY J = N m = kg m2 s−2 M L2 T−2
勢能 φ, Φ, U, V, Ep J = N m = kg m2 s−2 M L2 T−2
機械功率 P W = J s−1 M L2 T−3

每一個保守力都有對應的势能。根據以下二個原理,可以設定勢能U的值:

  • 保守力為零的時候,勢能也定義為零。
  • 保守力作功時,勢能減少。

廣義力學

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通用名 通用符號 定義 國際單位制 量綱
廣義座標 q, Q 不一定 不一定
廣義速度 不一定 不一定
廣義動量 p, P 不一定 不一定
拉格朗日量 L

其中以及 p = p(t) 分別是廣義座標以及動量的向量,是時間的函數。

J M L2 T−2
哈密顿量 H J M L2 T−2
作用量,哈密頓主函數 S, J s M L2 T−1

運動學

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在以下轉動的定義中,角度是對應轉動軸的位意角度。一般常用θ,不過不一定要是極座標下的極角。單位軸向量

定義轉動軸r方向上的單位向量,是和角呈切線的單位向量。

平移 轉動
速度 平均:

瞬時:

角速度轉動刚体
加速度 平均:

瞬時:

角加速度

轉動刚体:

加加速度 平均:

瞬時:

加加速度

轉動刚体:

動力學

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平移 轉動
动量

針對轉動剛體:

角动量

此外積為赝矢量,若rp都反向(變號),L不會變號。

一般來說,I是二維張量·表示張量縮並英语tensor contraction

牛顿第二运动定律 作用在系統質心上的合力,等於動量的變化率:

針對許多質點的系統,質點i的運動方程式為:[7]

其中pi是第i個質點的動量,Fij,是粒子j作用在粒子i上的力,FE是合外力(來自系統以外的物體)。粒子i不會產生給自身的力。

力矩

力矩(torque)τ也稱為moment of a force,是轉動系統中對應力的物理量:[8]

若是剛體,牛頓第二轉動定律的形式類似平移運動下的形式:

若針對許多質點,質點i的運動方程為:[9]

Yank Yank是力的變化率:

若是固定質量,會變成下式:

Rotatum英语Rotatum

Rotatum Ρ也稱為moment of a Yank,因為是是轉動系統中對應Yank的物理量:

衝量 衝量是動量的變化:

針對固定力F

Twirl或是角衝量是角動量的變化:

針對固定力矩τ

進動

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陀螺的進動角速度為:

其中w是自旋物體的重量。

能量

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系統以外事物對系統所作的機械功等於系統的動能變化:

通用功—能定理(平移及轉動)

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系統以外事物,對曲線路徑C上的質點產生力F(在 r的位置)以及力矩τ,所做成的功W為:

其中θ是相對单位向量n所定義軸的轉動角度。

動能

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物體一開始的速度為,後來的速度為,其动能變化為:

彈性勢能

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遵守胡克定律的彈簧,若一端固定,拉長後,其彈性勢能英语elastic potential energy

其中r2r1是彈簧未固定端,在拉長後以及拉長前的共線座標,方向是往拉長/壓縮的方向,k是彈簧常數。

剛體運動的欧拉方程

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萊昂哈德·歐拉也像牛頓一様,發表了運動定律,可以參見歐拉運動定律。這些定律將牛頓運動定律擴展到剛體的運動上,不過本質是相同的。以下是歐拉提出新的運動方程式[10]

其中I轉動慣量張量.

通用平面運動

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前面平面運動的方程可以用在此處,應用上述的定義即可推出動量、角動量等。針對在平面上路徑移動的物體。

以下的結果可應用在質點上。

運動學 動力學
位置

速度

動量

角動量

加速度

向心力

其中的m是質量矩(mass moment),科里奥利力

科里奥利加速度以及科里奥利也可以寫成:

連心力運動

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針對質量較大的物體,而且因為其他物體所施加的連心力而運動,連心力只和二物體質心的距離有關,其運動方程為:

定加速度運動方程

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僅當加速度恆定時才能使用這些方程式。如果加速度會變化,則必須使用上面的一般微積分學方程,透過積分位置、速度和加速度的定義來找到(見上文) 。

線性運動 旋轉運動

伽利略座標系變換

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在古典(伽利略-牛頓)力學裡,將物理定律從一個慣性或加速(包括旋轉)坐標系(參考坐標系是以定速移動,其中包括零速)變換到另一個坐標系的變換即為伽利略變換。

以下標示r, v, a 的物理量是在坐標系F的位置、速度、加速度物理量,而標示r’, v’, a’ 的物理量是在以相對坐標系F移動速度V或是角速度Ω的坐標系F’的的位置、速度、加速度物理量。相對的,F是以相反的速度(—V or —Ω) 相對於F'移動。此情形類似相對加速度。

運動方式 慣性坐標系 加速坐標系
移動

V = 兩個慣性坐標系F和F'之間的相對定速度
A = 兩個加速坐標系F和F'之間的相對(變)加速度

相對位置

相對速度

等效加速度

相對加速度

假想力

轉動

Ω = 兩個慣性坐標系F和F'之間的相對定角速度
Λ = 兩個加速坐標系F和F'之間的相對(變)角加速度

相對角位置

相對速度

等效加速度

相對加速度

假想力矩

將向量T轉換到旋轉座標系

機械諧振子

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運動方程
物理情況 術語 平移方程 角方程
簡諧運動
(SHM)
  • x = 橫向位移
  • θ = 角位移
  • A =橫向振幅
  • Θ = 角振幅

解:

解:

非受迫阻尼振动
  • b = 阻尼常數
  • κ = 扭轉常數

解(見下文ω):

諧振頻率:

阻尼率:

激發的預期壽命(Expected lifetime of excitation):

解:

諧振頻率:

阻尼率:

激發的預期壽命(Expected lifetime of excitation):

角頻率
物理情況 術語 方程
線性無阻尼非受迫簡諧振子
  • k = 彈簧常數
  • m = 鐘擺質量
線性非受迫阻尼諧振子
  • k = 彈簧常數
  • b = 阻尼係數
低振幅角簡諧振子
  • I = 相對擺動軸轉動慣量
  • κ = 扭轉常數
低振幅單擺
  • L = 擺錘長度
  • g = 重力加速度
  • Θ = 角振幅
近似值

精確值可以表示成:

機械振盪的能量
物理情況 術語 方程
簡諧運動能量
  • T = 動能
  • U = 勢能
  • E = 總能量
勢能:

x = A處的最大值:

動能:

總能量:

阻尼諧振子能源

相關條目

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參考資料

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  1. ^ Mayer, Sussman & Wisdom 2001,第xiii頁
  2. ^ Berkshire & Kibble 2004,第1頁
  3. ^ Berkshire & Kibble 2004,第2頁
  4. ^ Arnold 1989,第v頁
  5. ^ Section: Moments and center of mass. 
  6. ^ R.P. Feynman; R.B. Leighton; M. Sands. Feynman's Lectures on Physics (volume 2). Addison-Wesley. 1964: 31–7. ISBN 978-0-201-02117-2. 
  7. ^ "Relativity, J.R. Forshaw 2009"
  8. ^ "Mechanics, D. Kleppner 2010"
  9. ^ "Relativity, J.R. Forshaw 2009"
  10. ^ "Relativity, J.R. Forshaw 2009"

參考書目

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