經典力學是物理學描述宏觀物體運動的分支。[1]是最熟悉的物理學理論。涵蓋如常用和已知的加速度和力。[2]本列表基於具固定軸的三維歐幾里得空間參考系。三軸的交點稱為此空間的原點。[3]
經典力學概念包括微分方程、流形、李群和遍歷理論。各種物理量相互關聯[4]。本列表總結了其中最重要的內容。
本文列出了牛頓力學的方程,有關經典力學(包括拉格朗日力學和哈密頓力學)的更一般公式,請參閱分析力學。
通用名
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通用符號
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定義
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國際單位制
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量綱
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線/表面/體積質量密度
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λ或μ用於線密度(μ主要用在聲學),σ用於表面,ρ用於體積。
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kg m−n, n = 1, 2, 3
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M L−n
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質量矩[5]
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m (沒有通用符號)
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點質量:
相對固定軸 的離散質量:
相對固定軸 的連續質量:
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kg m
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M L
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質心 |
rcom
(符號不一定)
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第i個質量
離散質量:
連續質量:
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m
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L
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二體約化質量
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m12, μ= m1 and m2
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kg
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M
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轉動慣量(MOI)
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I
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離散質量:
連續質量:
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kg m2
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M L2
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經典粒子的運動學物理量:質量m、位置r、速度v、加速度a
通用名
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通用符號
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定義
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國際單位制
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量綱
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速度 |
v |
![{\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d488af47c895a641f99cc7ef979c0d0e0b20647) |
m s−1 |
L T−1
|
加速度 |
a |
![{\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/146bbfde8b34b58b4d488067647ab947555952c7) |
m s−2 |
L T−2
|
加加速度 |
j |
![{\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {a} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29a629959926303edf81afea09a349caef97add3) |
m s−3 |
L T−3
|
Jounce |
s |
![{\displaystyle \mathbf {s} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {j} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{4}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/349bb5e3a1a1aa44a2962e1706589a306fbf4aba) |
m s−4 |
L T−4
|
角速度 |
ω |
![{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26bf1e98d76b5abfede4cc84af29e325fcdd4961) |
rad s−1 |
T−1
|
角加速度 |
α |
![{\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d8da05b68446be965c5193de2eafd71231d259c) |
rad s−2 |
T−2
|
角加加速度 |
ζ |
![{\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\alpha }}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {\mathrm {d} ^{3}\theta }{\mathrm {d} t^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a943a25f3cafb7789dfcd44e3eb9f7a611f3b6be) |
rad s−3 |
T−3
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經典力學下物質的角動量。
左: 固有的自旋角動量S是物體每一點的軌道角動量
右: 對應一個軸的外在軌道角動量L
上:轉動慣量 I以及角速度ω(L不一定會和ω平行)[6]
下:動量p以及其相對於軸的位置r
。總角動量(spin + orbital)為J
通用名
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通用符號
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定義
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國際單位制
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量綱
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合力産生的功
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W |
![{\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d75b484023d0dae70960816837d718fcf8109a3) |
J = N m = kg m2 s−2 |
M L2 T−2
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力學系統所作的功
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WON, WBY |
![{\displaystyle \Delta W_{\mathrm {ON} }=-\Delta W_{\mathrm {BY} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ae794e2433bf8fdca789ea3617f3e5b57075610) |
J = N m = kg m2 s−2 |
M L2 T−2
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勢能 |
φ, Φ, U, V, Ep |
![{\displaystyle \Delta W=-\Delta V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a027eb789afd05d1f6f69807b20a761a5d4713bb) |
J = N m = kg m2 s−2 |
M L2 T−2
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機械功率
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P |
![{\displaystyle P={\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4e61833ae1779b3c59f25f9f338a000c79399d3) |
W = J s−1 |
M L2 T−3
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每一個保守力都有對應的勢能。根據以下二個原理,可以設定勢能U的值:
- 保守力為零的時候,勢能也定義為零。
- 保守力作功時,勢能減少。
通用名
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通用符號
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定義
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國際單位制
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量綱
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廣義座標
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q, Q
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不一定
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不一定
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廣義速度
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不一定
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不一定
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廣義動量
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p, P
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不一定
|
不一定
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拉格朗日量
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L
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其中 以及 p = p(t) 分別是廣義座標以及動量的向量,是時間的函數。
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J
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M L2 T−2
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哈密頓量
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H
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J
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M L2 T−2
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作用量,哈密頓主函數
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S,
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J s
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M L2 T−1
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在以下轉動的定義中,角度是對應轉動軸的位意角度。一般常用θ,不過不一定要是極座標下的極角。單位軸向量
定義轉動軸
為r方向上的單位向量,
是和角呈切線的單位向量。
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平移
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轉動
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速度
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平均:
瞬時:
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角速度 轉動剛體:
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加速度
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平均:
瞬時:
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角加速度
轉動剛體:
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加加速度
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平均:
瞬時:
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角加加速度
轉動剛體:
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平移
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轉動
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動量
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針對轉動剛體:
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角動量
此外積為贗矢量,若r和p都反向(變號),L不會變號。
一般來說,I是二維張量,·表示張量縮並。
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力和牛頓第二運動定律
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作用在系統質心上的合力,等於動量的變化率:
針對許多質點的系統,質點i的運動方程式為:[7]
其中pi是第i個質點的動量,Fij,是粒子j作用在粒子i上的力,FE是合外力(來自系統以外的物體)。粒子i不會產生給自身的力。
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力矩
力矩(torque)τ也稱為moment of a force,是轉動系統中對應力的物理量:[8]
若是剛體,牛頓第二轉動定律的形式類似平移運動下的形式:
若針對許多質點,質點i的運動方程為:[9]
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Yank
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Yank是力的變化率:
若是固定質量,會變成下式:
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Rotatum
Rotatum Ρ也稱為moment of a Yank,因為是是轉動系統中對應Yank的物理量:
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衝量
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衝量是動量的變化:
針對固定力F:
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Twirl或是角衝量是角動量的變化:
針對固定力矩τ:
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陀螺的進動角速度為:
其中w是自旋物體的重量。
系統以外事物對系統所作的機械功等於系統的動能變化:
系統以外事物,對曲線路徑C上的質點產生力F(在 r的位置)以及力矩τ,所做成的功W為:
其中θ是相對單位向量n所定義軸的轉動角度。
物體一開始的速度為
,後來的速度為
,其動能變化為:
遵守胡克定律的彈簧,若一端固定,拉長後,其彈性勢能為
其中r2和r1是彈簧未固定端,在拉長後以及拉長前的共線座標,方向是往拉長/壓縮的方向,k是彈簧常數。
萊昂哈德·歐拉也像牛頓一様,發表了運動定律,可以參見歐拉運動定律。這些定律將牛頓運動定律擴展到剛體的運動上,不過本質是相同的。以下是歐拉提出新的運動方程式[10]:
其中I是轉動慣量張量.
前面平面運動的方程可以用在此處,應用上述的定義即可推出動量、角動量等。針對在平面上路徑移動的物體。
以下的結果可應用在質點上。
運動學
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動力學
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位置
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速度
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動量
角動量
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加速度
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向心力為
其中的m是質量矩(mass moment),科里奧利力為
科里奧利加速度以及科里奧利也可以寫成:
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針對質量較大的物體,而且因為其他物體所施加的連心力而運動,連心力只和二物體質心的距離有關,其運動方程為:
僅當加速度恆定時才能使用這些方程式。如果加速度會變化,則必須使用上面的一般微積分學方程,透過積分位置、速度和加速度的定義來找到(見上文) 。
線性運動
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旋轉運動
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在古典(伽利略-牛頓)力學裡,將物理定律從一個慣性或加速(包括旋轉)坐標系(參考坐標系是以定速移動,其中包括零速)變換到另一個坐標系的變換即為伽利略變換。
以下標示r, v, a 的物理量是在坐標系F的位置、速度、加速度物理量,而標示r』, v』, a』 的物理量是在以相對坐標系F移動速度V或是角速度Ω的坐標系F』的的位置、速度、加速度物理量。相對的,F是以相反的速度(—V or —Ω) 相對於F'移動。此情形類似相對加速度。
運動方式
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慣性坐標系
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加速坐標系
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移動
V = 兩個慣性坐標系F和F'之間的相對定速度
A = 兩個加速坐標系F和F'之間的相對(變)加速度
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相對位置
相對速度
等效加速度
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相對加速度
假想力
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轉動
Ω = 兩個慣性坐標系F和F'之間的相對定角速度
Λ = 兩個加速坐標系F和F'之間的相對(變)角加速度
|
相對角位置
相對速度
等效加速度
|
相對加速度
假想力矩
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將向量T轉換到旋轉座標系
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運動方程
物理情況
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術語
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平移方程
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角方程
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簡諧運動 (SHM)
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- x = 橫向位移
- θ = 角位移
- A =橫向振幅
- Θ = 角振幅
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解:
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解:
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非受迫阻尼振動
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|
解(見下文ω):
諧振頻率:
阻尼率:
激發的預期壽命(Expected lifetime of excitation):
|
解:
諧振頻率:
阻尼率:
激發的預期壽命(Expected lifetime of excitation):
|
- Arnold, Vladimir I., Mathematical Methods of Classical Mechanics
2nd, Springer, 1989, ISBN 978-0-387-96890-2
- Berkshire, Frank H.; Kibble, T. W. B., Classical Mechanics (Kibble and Berkshire) 5th, Imperial College Press, 2004, ISBN 978-1-86094-435-2
- Mayer, Meinhard E.; Sussman, Gerard J.; Wisdom, Jack, Structure and Interpretation of Classical Mechanics, MIT Press, 2001, ISBN 978-0-262-19455-6
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線性(平動)的量 |
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角度(轉動)的量 |
量綱 |
— |
L |
L2 |
量綱 |
— |
— |
— |
T |
時間: t s |
位移積分: A m s |
|
T |
時間: t s |
|
|
— |
|
距離: d, 位矢: r, s, x, 位移 m |
面積: A m2 |
— |
|
角度: θ, 角移: θ rad |
立體角: Ω rad2, sr |
T−1 |
頻率: f s−1, Hz |
速率: v, 速度: v m s−1 |
面積速率: ν m2 s−1 |
T−1 |
頻率: f s−1, Hz |
角速率: ω, 角速度: ω rad s−1 |
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T−2 |
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加速度: a m s−2 |
|
T−2 |
|
角加速度: α rad s−2 |
|
T−3 |
|
加加速度: j m s−3 |
|
T−3 |
|
角加加速度: ζ rad s−3 |
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|
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M |
質量: m kg |
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ML2 |
轉動慣量: I kg m2 |
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MT−1 |
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動量: p, 衝量: J kg m s−1, N s |
作用量: 𝒮, actergy: ℵ kg m2 s−1, J s |
ML2T−1 |
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角動量: L, 角衝量: ι kg m2 s−1 |
作用量: 𝒮, actergy: ℵ kg m2 s−1, J s |
MT−2 |
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力: F, 重量: Fg kg m s−2, N |
能量: E, 功: W kg m2 s−2, J |
ML2T−2 |
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力矩: τ, moment: M kg m2 s−2, N m |
能量: E, 功: W kg m2 s−2, J |
MT−3 |
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加力: Y kg m s−3, N s−1 |
功率: P kg m2 s−3, W |
ML2T−3 |
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rotatum: P kg m2 s−3, N m s−1 |
功率: P kg m2 s−3, W |
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