经典力学是物理学描述宏观物体运动的分支。[1]是最熟悉的物理学理论。涵盖如常用和已知的加速度和力。[2]本列表基于具固定轴的三维欧几里得空间参考系。三轴的交点称为此空间的原点。[3]
经典力学概念包括微分方程、流形、李群和遍历理论。各种物理量相互关联[4]。本列表总结了其中最重要的内容。
本文列出了牛顿力学的方程,有关经典力学(包括拉格朗日力学和哈密顿力学)的更一般公式,请参阅分析力学。
通用名
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通用符号
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定义
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国际单位制
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量纲
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线/表面/体积质量密度
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λ或μ用于线密度(μ主要用在声学),σ用于表面,ρ用于体积。
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kg m−n, n = 1, 2, 3
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M L−n
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质量矩[5]
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m (没有通用符号)
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点质量:
相对固定轴 的离散质量:
相对固定轴 的连续质量:
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kg m
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M L
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质心 |
rcom
(符号不一定)
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第i个质量
离散质量:
连续质量:
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m
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L
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二体约化质量
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m12, μ= m1 and m2
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kg
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M
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转动惯量(MOI)
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I
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离散质量:
连续质量:
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kg m2
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M L2
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经典粒子的运动学物理量:质量m、位置r、速度v、加速度a
通用名
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通用符号
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定义
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国际单位制
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量纲
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速度 |
v |
![{\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d488af47c895a641f99cc7ef979c0d0e0b20647) |
m s−1 |
L T−1
|
加速度 |
a |
![{\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/146bbfde8b34b58b4d488067647ab947555952c7) |
m s−2 |
L T−2
|
加加速度 |
j |
![{\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {a} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29a629959926303edf81afea09a349caef97add3) |
m s−3 |
L T−3
|
Jounce |
s |
![{\displaystyle \mathbf {s} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {j} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{4}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/349bb5e3a1a1aa44a2962e1706589a306fbf4aba) |
m s−4 |
L T−4
|
角速度 |
ω |
![{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26bf1e98d76b5abfede4cc84af29e325fcdd4961) |
rad s−1 |
T−1
|
角加速度 |
α |
![{\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d8da05b68446be965c5193de2eafd71231d259c) |
rad s−2 |
T−2
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角加加速度 |
ζ |
![{\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\alpha }}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {\mathrm {d} ^{3}\theta }{\mathrm {d} t^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a943a25f3cafb7789dfcd44e3eb9f7a611f3b6be) |
rad s−3 |
T−3
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经典力学下物质的角动量。
左: 固有的自旋角动量S是物体每一点的轨道角动量
右: 对应一个轴的外在轨道角动量L
上:转动惯量 I以及角速度ω(L不一定会和ω平行)[6]
下:动量p以及其相对于轴的位置r
。总角动量(spin + orbital)为J
通用名
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通用符号
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定义
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国际单位制
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量纲
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合力产生的功
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W |
![{\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d75b484023d0dae70960816837d718fcf8109a3) |
J = N m = kg m2 s−2 |
M L2 T−2
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力学系统所作的功
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WON, WBY |
![{\displaystyle \Delta W_{\mathrm {ON} }=-\Delta W_{\mathrm {BY} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ae794e2433bf8fdca789ea3617f3e5b57075610) |
J = N m = kg m2 s−2 |
M L2 T−2
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势能 |
φ, Φ, U, V, Ep |
![{\displaystyle \Delta W=-\Delta V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a027eb789afd05d1f6f69807b20a761a5d4713bb) |
J = N m = kg m2 s−2 |
M L2 T−2
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机械功率
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P |
![{\displaystyle P={\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4e61833ae1779b3c59f25f9f338a000c79399d3) |
W = J s−1 |
M L2 T−3
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每一个保守力都有对应的势能。根据以下二个原理,可以设定势能U的值:
- 保守力为零的时候,势能也定义为零。
- 保守力作功时,势能减少。
通用名
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通用符号
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定义
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国际单位制
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量纲
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广义座标
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q, Q
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不一定
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不一定
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广义速度
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不一定
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不一定
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广义动量
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p, P
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不一定
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不一定
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拉格朗日量
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L
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其中 以及 p = p(t) 分别是广义座标以及动量的向量,是时间的函数。
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J
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M L2 T−2
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哈密顿量
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H
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J
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M L2 T−2
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作用量,哈密顿主函数
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S,
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J s
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M L2 T−1
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在以下转动的定义中,角度是对应转动轴的位意角度。一般常用θ,不过不一定要是极座标下的极角。单位轴向量
定义转动轴
为r方向上的单位向量,
是和角呈切线的单位向量。
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平移
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转动
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速度
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平均:
瞬时:
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角速度 转动刚体:
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加速度
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平均:
瞬时:
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角加速度
转动刚体:
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加加速度
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平均:
瞬时:
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角加加速度
转动刚体:
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平移
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转动
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动量
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针对转动刚体:
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角动量
此外积为赝矢量,若r和p都反向(变号),L不会变号。
一般来说,I是二维张量,·表示张量缩并。
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力和牛顿第二运动定律
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作用在系统质心上的合力,等于动量的变化率:
针对许多质点的系统,质点i的运动方程式为:[7]
其中pi是第i个质点的动量,Fij,是粒子j作用在粒子i上的力,FE是合外力(来自系统以外的物体)。粒子i不会产生给自身的力。
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力矩
力矩(torque)τ也称为moment of a force,是转动系统中对应力的物理量:[8]
若是刚体,牛顿第二转动定律的形式类似平移运动下的形式:
若针对许多质点,质点i的运动方程为:[9]
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Yank
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Yank是力的变化率:
若是固定质量,会变成下式:
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Rotatum
Rotatum Ρ也称为moment of a Yank,因为是是转动系统中对应Yank的物理量:
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冲量
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冲量是动量的变化:
针对固定力F:
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Twirl或是角冲量是角动量的变化:
针对固定力矩τ:
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陀螺的进动角速度为:
其中w是自旋物体的重量。
系统以外事物对系统所作的机械功等于系统的动能变化:
系统以外事物,对曲线路径C上的质点产生力F(在 r的位置)以及力矩τ,所做成的功W为:
其中θ是相对单位向量n所定义轴的转动角度。
物体一开始的速度为
,后来的速度为
,其动能变化为:
遵守胡克定律的弹簧,若一端固定,拉长后,其弹性势能为
其中r2和r1是弹簧未固定端,在拉长后以及拉长前的共线座标,方向是往拉长/压缩的方向,k是弹簧常数。
莱昂哈德·欧拉也像牛顿一様,发表了运动定律,可以参见欧拉运动定律。这些定律将牛顿运动定律扩展到刚体的运动上,不过本质是相同的。以下是欧拉提出新的运动方程式[10]:
其中I是转动惯量张量.
前面平面运动的方程可以用在此处,应用上述的定义即可推出动量、角动量等。针对在平面上路径移动的物体。
以下的结果可应用在质点上。
运动学
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动力学
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位置
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速度
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动量
角动量
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加速度
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向心力为
其中的m是质量矩(mass moment),科里奥利力为
科里奥利加速度以及科里奥利也可以写成:
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针对质量较大的物体,而且因为其他物体所施加的连心力而运动,连心力只和二物体质心的距离有关,其运动方程为:
仅当加速度恒定时才能使用这些方程式。如果加速度会变化,则必须使用上面的一般微积分学方程,透过积分位置、速度和加速度的定义来找到(见上文) 。
线性运动
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旋转运动
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在古典(伽利略-牛顿)力学里,将物理定律从一个惯性或加速(包括旋转)坐标系(参考坐标系是以定速移动,其中包括零速)变换到另一个坐标系的变换即为伽利略变换。
以下标示r, v, a 的物理量是在坐标系F的位置、速度、加速度物理量,而标示r’, v’, a’ 的物理量是在以相对坐标系F移动速度V或是角速度Ω的坐标系F’的的位置、速度、加速度物理量。相对的,F是以相反的速度(—V or —Ω) 相对于F'移动。此情形类似相对加速度。
运动方式
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惯性坐标系
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加速坐标系
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移动
V = 两个惯性坐标系F和F'之间的相对定速度
A = 两个加速坐标系F和F'之间的相对(变)加速度
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相对位置
相对速度
等效加速度
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相对加速度
假想力
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转动
Ω = 两个惯性坐标系F和F'之间的相对定角速度
Λ = 两个加速坐标系F和F'之间的相对(变)角加速度
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相对角位置
相对速度
等效加速度
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相对加速度
假想力矩
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将向量T转换到旋转座标系
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运动方程
物理情况
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术语
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平移方程
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角方程
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简谐运动 (SHM)
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- x = 横向位移
- θ = 角位移
- A =横向振幅
- Θ = 角振幅
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解:
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解:
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非受迫阻尼振动
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解(见下文ω):
谐振频率:
阻尼率:
激发的预期寿命(Expected lifetime of excitation):
|
解:
谐振频率:
阻尼率:
激发的预期寿命(Expected lifetime of excitation):
|
- Arnold, Vladimir I., Mathematical Methods of Classical Mechanics
2nd, Springer, 1989, ISBN 978-0-387-96890-2
- Berkshire, Frank H.; Kibble, T. W. B., Classical Mechanics (Kibble and Berkshire) 5th, Imperial College Press, 2004, ISBN 978-1-86094-435-2
- Mayer, Meinhard E.; Sussman, Gerard J.; Wisdom, Jack, Structure and Interpretation of Classical Mechanics, MIT Press, 2001, ISBN 978-0-262-19455-6
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线性(平动)的量 |
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角度(转动)的量 |
量纲 |
— |
L |
L2 |
量纲 |
— |
— |
— |
T |
时间: t s |
位移积分: A m s |
|
T |
时间: t s |
|
|
— |
|
距离: d, 位矢: r, s, x, 位移 m |
面积: A m2 |
— |
|
角度: θ, 角移: θ rad |
立体角: Ω rad2, sr |
T−1 |
频率: f s−1, Hz |
速率: v, 速度: v m s−1 |
面积速率: ν m2 s−1 |
T−1 |
频率: f s−1, Hz |
角速率: ω, 角速度: ω rad s−1 |
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T−2 |
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加速度: a m s−2 |
|
T−2 |
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角加速度: α rad s−2 |
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T−3 |
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加加速度: j m s−3 |
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T−3 |
|
角加加速度: ζ rad s−3 |
|
|
|
M |
质量: m kg |
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ML2 |
转动惯量: I kg m2 |
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MT−1 |
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动量: p, 冲量: J kg m s−1, N s |
作用量: 𝒮, actergy: ℵ kg m2 s−1, J s |
ML2T−1 |
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角动量: L, 角冲量: ι kg m2 s−1 |
作用量: 𝒮, actergy: ℵ kg m2 s−1, J s |
MT−2 |
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力: F, 重量: Fg kg m s−2, N |
能量: E, 功: W kg m2 s−2, J |
ML2T−2 |
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力矩: τ, moment: M kg m2 s−2, N m |
能量: E, 功: W kg m2 s−2, J |
MT−3 |
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加力: Y kg m s−3, N s−1 |
功率: P kg m2 s−3, W |
ML2T−3 |
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rotatum: P kg m2 s−3, N m s−1 |
功率: P kg m2 s−3, W |
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