給定一個等邊三角形,通過把所有頂點映射到另一個頂點,繞三角形中心逆時針 120°旋轉“作用”在這個三角形的頂點的集合上。
数学上,对称群描述物体的所有对称性。这是通过群作用的概念来形式化的:群的每个元素作为一个双射(或者对称作用)作用在某个集合上。在这个情况下,群称为置换群(特别是在群有限或者不是线性空间时)或者变换群(特别是当这个集合是线性空间而群作为线性变换作用在集合上时)。一个群G的置换表示是群作为一个集合的置换群的群表示(通常该集合有限),并且可以表述为置换矩阵,一般在有限的情形作此考虑-这和作用在有序的线性空间基上是一样的。
若
为一个群而
为一个集合,则
在
上的一个(左) 群作用是一个二元函数
![{\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {X} \rightarrow \mathrm {X} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebfd228f21e3d3f90381426cd31a0a0e9f499e29)
(其中
和
的像写作
),满足如下两条公理:
对于所有
和
成立
对于每个
成立 (
代表
的么元)
从这两条公理,可以得出对于每个
,映射
到
的函数是一个双射(單射以
應付,滿射以
應付),从
映射到
。因此,也可以将
在
上的群作用定义为从
到对称群
的群同态。
若群作用
给定,我们称“G作用于集合X”或者X是一个G-集合。
完全一样地,可以定义一个G在X上的右群作用为函数
,满足以下公理:
![{\displaystyle x\cdot (gh)=(x\cdot g)\cdot h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83778d007aedd9e9dded9489a5c4b4a9bb8e7ee5)
![{\displaystyle x\cdot e=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7c23cd00329cb98d42bc03d94c61f468f0a2be5)
注意左和右作用的区别仅在于象gh这样的积在x上作用的次序。对于左作用h先作用然后是g,而对于右作用g先作用然后是h。从一个右作用可以构造一个左作用,只要和群上的逆操作复合就可以了。如果r为一右作用,则
![{\displaystyle l:G\times M\to M:(g,m)\mapsto r(m,g^{-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cda02c0e035ac14096c5e82a4fff4e7cddad7d3)
是一左作用,因为
![{\displaystyle l(gh,m)=r(m,(gh)^{-1})=r(m,h^{-1}g^{-1})=r(r(m,h^{-1}),g^{-1})=r(l(h,m),g^{-1})=l(g,l(h,m))\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/072f81c6cadcb23bbe747a667d50f1b8c1fd174c)
而
![{\displaystyle l(e,m)=r(m,e^{-1})=r(m,e)=m\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79c0788d87614bdcc44ac6a22ec67f3d9aee9ce1)
所以在这里,我们只考虑左群作用,因为右作用可以相应推理。
群G作用在集合X上的作用稱為:[1]
- 遞移性(Transitive)
- 如果X是一個非空集合,對於每對數對 x,y
X,則存在一個g
G,使得
,我們就稱此作用為遞移性。
- 忠實性(Faithful)
- 如果群G嵌入(embbeding)到X的置換群中,我們就稱此作用為忠實的。換言之,就是群G到X的置換群之中為單射。
- 自由性(Free)
- 如果給定
,存在
,則有著
,則稱為此作用為自由性。
- 正則的(Regular)
- 同時具有自由性以及遞移性的作用稱為正則的,又稱簡單遞移(英語:simply transitive)。
- n-遞移性(n-transitive)
- 如果集合X 至少有 n 個元素, 對所有不同的元素x1, ..., xn 和所有不同的y1, ..., yn, 存在一個 g 在群G 使得 g⋅xk = yk 對所有 1 ≤ k ≤ n ,我們就稱其為n-遞移性。
- 本原的(Primitive)
- 如果遞移性作用滿足只有trivial區塊(block),那我們稱此作用為本原的。可以證明n-遞移性皆為本原的。
若
是
的一個元素,且群
在
上有著一個作用,那麼
的軌道
就是指以下列方式定義的
的子集:
的兩個軌道,要不彼此相等,要不然其交集就是空集合。這是因為假如兩個軌道
和
有一個共通元素
,那麼就可以找到兩個
中的元素
和
,使得
、
,同時有
,反之亦可推出
,而這使得這兩個集合所有的元素都相等。
一個軌道的例子是陪集,假若
是
的一個子集,且定義
中元素的慣常運算規則為
在
上的一個作用,那麼
的陪集
(
)就是
的軌道。
若S是X的一個子集,群G作用在X上( X 被稱作G-set),對於群G中的所有元素 g,以及所有S中的元素 x,有著
,
則我們會說 S在G的作用下是封閉的,或是說,S在G作用下是不變的
若
是
的一個元素,對於群
中的所有元素
而言,都有
,那麼就稱
是
-不變的(
-invariant)。
另外若
是
的一個元素,則所有使得
的
中的元素
構成的集合又稱
對於
的穩定子群(stabilizer subgroup of
with respect to
),一般常常將之記作
(注意:不要將之與上面軌道的符號混淆)。
是
的一個子群,因為根據定義
,因此
的單位元
屬於
,且假若
,那麼
的逆元
也是
的元素,因為
。
考慮一個映射
可以證明此映射是一個雙射的函數,而這個映射的結論就是所謂的 軌道-穩定點定理
而一個跟軌道-穩定點定理相似的結果就是伯恩賽德引理,
- 任意群G在任意集合X上的平凡的群作用定义为 g⋅x = x 对任意g属于G以及任意x属于X;换句话说,每个群元素对应 X上的恒等置换。[2]