在R2中标准基的图示。红蓝向量是这个基的元素。
线性代数
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![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31efc33ac33577d719a3ccd162a9bf21e4847ea)
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向量 · 向量空间 · 基底 · 行列式 · 矩阵
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在线性代数中,基(英文:basis,又称基底) 是向量空间里某一群特殊的向量(称为基向量),使得向量空间中的任意向量,都可以唯一地表示成基向量的线性组合(或线性组合的极限)。
通过基底可以直接地描述向量空间
上定义的线性映射
,详请参见线性映射#矩阵一节。
Hamel基的定义 —
是定义在域
(也就是标量的母空间,如实数系
或复数系
)上的向量空间,如果
的子集
满足:
(也就是零向量不会在
里)
- 若
且
,则存在唯一的一组相异向量
和唯一的一组非零标量
使得
。
则称
是向量空间
的一组Hamel基。
里的元素被称为基向量 ,若基向量的总数是有限个,
则会被称为有限基或直接简称为基。
上面的第二个条件,也可以等价地改写为以下两条[1]:
线性无关(linear independence)
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对任意相异的 和任意的 ,若 ,则
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生成律(spanning property)
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对任意 ,存在相异向量 和标量 使得
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等价性来自于线性无关:
若有第二组相异
基向量和第二组标量
也满足
的话,把这住两组基向量合并,并重新排列,于两组间重复的记为
,其他不重复的部分,第一组的记为
;而第二组的记为
;然后设
于原来第一组对应的标量系数是
;原第二组则是对应
。另外
对应的标量系数则为
;
对应的标量系数则为
; 这样把
的第一组线性组合表达式减去第二组会有
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{l}(\alpha _{i}-a_{i})\cdot w_{i}+\sum _{j=1}^{n-l}\beta _{j}\cdot v_{j}+\sum _{k=1}^{m-l}(-b_{k})\cdot u_{k}=0_{V}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cfaadd4cf75f17c51890a350ee7b8868c1d8377)
这样依据线性无关,就有
![{\displaystyle \alpha _{1}-a_{1}=\alpha _{2}-a_{2}=\cdots =\alpha _{l}-a_{l}=0_{K}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3655b5fa0b6cc12eb3961fa3b449256a4c13efed)
![{\displaystyle \beta _{1}=\beta _{2}=\cdots =\beta _{n-l}=0_{K}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc6737056103f97e07efeaa4d68943342ec38cd)
![{\displaystyle b_{1}=b_{2}=\cdots =b_{m-l}=0_{K}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cee7c7a55a5323b47faee388adb55adf58ac3285)
这就确保任意
的线性组合表达式都是用同一组的基向量,且其标量系数也是唯一的。
除了上小节单以线性组合定义的Hamel基,也有以无穷级数展开任意向量为动机来定义基:
第二项条件通常会简写为
- 对每个
,都存在唯一组标量
,使 ![{\displaystyle v=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}\cdot e_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45de73c1feb8f7378f5b3a67cf942e11de0e444a)
甚至写为
![{\displaystyle v=\sum _{i=0}^{\infty }\lambda _{i}\cdot e_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0853d428bf35e9b2fea3f05e207157fd82c01bbc)
在傅立叶级数的研究中,函数
是所有的在区间[0, 2π]上为平方可积分的(实数或复数值)的函数的(实数或复数)向量空间的“正交基”,这种函数
满足
![{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\left|f(x)\right|^{2}\,dx<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbdd774542bad1a0dcd834ac22b4968143a0c031)
函数族
是线性无关的,所有在[0, 2π]上平方可积分的函数是它们的“无限线性组合”,在如下意义上
![{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int _{0}^{2\pi }{\biggl |}a_{0}+\sum _{k=1}^{n}{\bigl (}a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx){\bigr )}-f(x){\biggr |}^{2}\,dx=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a5a5dbd249a8a4664d0c5b91431d5c45b2f6942)
对于适合的(实数或复数)系数ak, bk。但是多数平方可积分函数不能表达为这些基函数的有限线性组合,因为它们不构成Hamel基。这个空间的所有Hamel基都大于这个函数的只可数无限集合。此类空间的Hamel基没有什么价值,而这些空间的正交基是傅立叶分析的根本。
如果基中元素个数有限,就称向量空间为有限维向量空间,并将元素的个数称作向量空间的维度[2]。如果原本的基底为:
![{\displaystyle {\mathfrak {B}}=\left\{e_{1},\,e_{2},\ldots ,\,e_{N}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f56d99453da146f1d1060650391e3827fbaa6af)
那时也可依据元素个数的数数是以一对一对应来定义的本质,反过来用基向量序列
来间接代表
。
事实上,不是所有空间都拥有由有限个元素构成的基底。这样的空间称为无限维空间。某些无限维空间上可以定义由无限个元素构成的基。在现代集合论中,如果承认选择公理,就可以证明任何向量空间都拥有一组基。一个向量空间的基不止一组,但同一个空间的两组不同的基,它们的元素个数或势(当元素个数是无限的时候)会是相等的。一组基里面的任意一部分向量都是线性无关的;反之,如果向量空间拥有一组基,那么在向量空间中取一组线性无关的向量,一定能得到一组基。特别地,在内积向量空间中,可以定义正交的概念。通过特别的方法,可以将任意的一组基变换成正交基乃至标准正交基。
设
是向量空间
的子集。则
是基,当且仅当满足了下列任一条件:
是
的极小生成集,就是说只有
能生成
,而它的任何真子集都不能生成全部的向量空间。
是
中线性无关向量的极大集合,就是说
在
中是线性无关(线性独立)集合,而且
中没有其他线性无关(线性独立)集合包含它作为真子集。
中所有的向量都可以按唯一的方式表达为
中向量的线性组合。如果基是有序的,则在这个线性组合中的系数提供了这个向量关于这个基的坐标。
如果承认良序定理或任何选择公理的等价物,那么作为推论,可以证明任何的向量空间都拥有一组基。(证明:良序排序这个向量空间的元素。建立不线性依赖于前面元素的所有元素的子集。它就是基)。反过来也是真的。一个向量空间的所有基都拥有同样的势(元素个数),叫做这个向量空间的维度。这个结果叫做维度定理,它要求系统承认严格弱形式的选择公理即超滤子引理。
- 考虑所有坐标 (a, b)的向量空间R2,这里的a和b都是实数。则非常自然和简单的基就是向量e1 = (1,0)和e2 = (0,1):假设v = (a, b)是R2中的向量,则v = a (1,0) + b(0,1)。而任何两个线性无关向量如 (1,1)和(−1,2),也形成R2的一个基。
- 更一般的说,给定自然数n。n个线性无关的向量e1, e2, ..., en可以在实数域上生成Rn。因此,它们也是的一个基而Rn的维度是n。这个基叫做Rn的标准基。
- 设V是由函数et和e2t生成的实数向量空间。这两个函数是线性无关的,所有它们形成了V的基。
- 设R[x]指示所有实数多项式的向量空间;则 (1, x, x2, ...)是R[x]的基。R[x]的维度的势因此等于
.
在行向量空间
中有单位行向量
那么在该空间中,任意向量
,都可以唯一表示成
.然后我们可以看出,
可以由它的向量子空间构成
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d)
.
同样的,单位列向量就可以表达为![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d)
.
线性无关的单位行向量
生成
. 那么
是
的基,称这个基为标准基.
如上所述,一个向量空间的每一组基都是一个极大的线性无关集合,同时也是极小的生成集合。可以证明,如果向量空间拥有一组基,那么每个线性无关的子集都可以扩张成一组基(也称为基的扩充定理),每个能够生成整个空间的子集也必然包含一组基。特别地,在任何线性无关集合和任何生成集合之间有一组基。以数学语言来说:如果
是在向量空间
中的一个线性无关集合而集合
是一个包含
而且能够生成
的集合,则存在
的一组基
,它包含了
而且是
的子集:
。
以上两个结论可以帮助证明一个集合是否是给定向量空间的基。如果不知道某个向量空间的维度,证明一个集合是它的基需要证明这个集合不仅是线性无关的,而且能够生成整个空间。如果已知这个向量空间的维度(有限维),那么这个集合的元素个数必须等于维数,才可能是它的基。在两者相等时,只需要证明这个集合线性无关,或这个集合能够生成整个空间这两者之一就够了。这是因为线性无关的子集必然能扩充成基;而这个集合的元素个数已经等于基的元素个数,需要添加的元素是0个。这说明原集合就是一组基。同理,能够生成整个空间的集合必然包含一组基作为子集;但假如这个子集是真子集,那么元素个数必须少于原集合的元素个数。然而原集合的元素个数等于维数,也就是基的元素个数,这是矛盾的。这说明原集合就是一组基。
基底是作为向量空间的子集定义的,其中的元素并不按照顺序排列。为了更方便相关的讨论,通常会将基向量进行排列。比如说将:
写成有序向量组:
。这样的有序向量组称为有序基。在有限维向量空间和可数维数的向量空间中,都可以自然地将基底表示成有序基。在有序基下,任意的向量都可以用确定的数组表示,称为向量的坐标。例如,在使用向量的坐标表示的时候习惯谈论“第一个”或“第二个”坐标,这只在指定了基的次序前提下有意义。在这个意义下,有序基可以看作是向量空间的坐标架。
设
是在域
上的n维向量空间。在
上确定一个有序基等价于确定一个从坐标空间
到
的一个选定线性同构
。
证明:这个证明利用了
的标准基是有序基的事实。
首先假设
是线性同构。可以定义
的一组有序基
如下:
![{\displaystyle v_{i}=\phi (e_{i}),\;\;\forall i,\;1\leqslant i\leqslant n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3037003471679f4f0fbc259fcecb2278ffe310a1)
其中的
是
的标准基。
反过来说,给定一个有序基,考虑如下定义的映射
- φ(x) = x1v1 + x2v2 + ... + xnvn,
这里的x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen是Fn的一个元素。不难检查出φ是线性同构。
这两个构造明显互逆。所以V的有序基一一对应于线性同构Fn → V。
确定自有序基{vi}线性映射φ的逆映射为V装备了坐标:如果对于向量v ∈ V, φ-1(v) = (a1, a2,...,an) ∈ Fn,则aj = aj(v)的分量是v的坐标,在v = a1(v) v1 + a2(v) v2 + ... + an(v) vn的意义上。
从向量v到分量aj(v)的映射是从V到F的线性映射,因为φ-1是线性的。所以它们是线性泛函。它们形成V的对偶空间的基,叫做对偶基。
- ^ 柯斯特利金.代数学引论(第二版)[M]高等教育出版社:53
- ^ Lang, Serge. Linear algebra. Berlin: New York: Springer-Verlag. 1987. ISBN 978-0-387-96412-6.