给定一个等边三角形,通过把所有顶点映射到另一个顶点,绕三角形中心逆时针 120°旋转“作用”在这个三角形的顶点的集合上。
数学上,对称群描述物体的所有对称性。这是通过群作用的概念来形式化的:群的每个元素作为一个双射(或者对称作用)作用在某个集合上。在这个情况下,群称为置换群(特别是在群有限或者不是线性空间时)或者变换群(特别是当这个集合是线性空间而群作为线性变换作用在集合上时)。一个群G的置换表示是群作为一个集合的置换群的群表示(通常该集合有限),并且可以表述为置换矩阵,一般在有限的情形作此考虑-这和作用在有序的线性空间基上是一样的。
若
为一个群而
为一个集合,则
在
上的一个(左) 群作用是一个二元函数
![{\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {X} \rightarrow \mathrm {X} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebfd228f21e3d3f90381426cd31a0a0e9f499e29)
(其中
和
的像写作
),满足如下两条公理:
对于所有
和
成立
对于每个
成立 (
代表
的么元)
从这两条公理,可以得出对于每个
,映射
到
的函数是一个双射(单射以
应付,满射以
应付),从
映射到
。因此,也可以将
在
上的群作用定义为从
到对称群
的群同态。
若群作用
给定,我们称“G作用于集合X”或者X是一个G-集合。
完全一样地,可以定义一个G在X上的右群作用为函数
,满足以下公理:
![{\displaystyle x\cdot (gh)=(x\cdot g)\cdot h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83778d007aedd9e9dded9489a5c4b4a9bb8e7ee5)
![{\displaystyle x\cdot e=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7c23cd00329cb98d42bc03d94c61f468f0a2be5)
注意左和右作用的区别仅在于象gh这样的积在x上作用的次序。对于左作用h先作用然后是g,而对于右作用g先作用然后是h。从一个右作用可以构造一个左作用,只要和群上的逆操作复合就可以了。如果r为一右作用,则
![{\displaystyle l:G\times M\to M:(g,m)\mapsto r(m,g^{-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cda02c0e035ac14096c5e82a4fff4e7cddad7d3)
是一左作用,因为
![{\displaystyle l(gh,m)=r(m,(gh)^{-1})=r(m,h^{-1}g^{-1})=r(r(m,h^{-1}),g^{-1})=r(l(h,m),g^{-1})=l(g,l(h,m))\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/072f81c6cadcb23bbe747a667d50f1b8c1fd174c)
而
![{\displaystyle l(e,m)=r(m,e^{-1})=r(m,e)=m\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79c0788d87614bdcc44ac6a22ec67f3d9aee9ce1)
所以在这里,我们只考虑左群作用,因为右作用可以相应推理。
群G作用在集合X上的作用称为:[1]
- 递移性(Transitive)
- 如果X是一个非空集合,对于每对数对 x,y
X,则存在一个g
G,使得
,我们就称此作用为递移性。
- 忠实性(Faithful)
- 如果群G嵌入(embbeding)到X的置换群中,我们就称此作用为忠实的。换言之,就是群G到X的置换群之中为单射。
- 自由性(Free)
- 如果给定
,存在
,则有著
,则称为此作用为自由性。
- 正则的(Regular)
- 同时具有自由性以及递移性的作用称为正则的,又称简单递移(英语:simply transitive)。
- n-递移性(n-transitive)
- 如果集合X 至少有 n 个元素, 对所有不同的元素x1, ..., xn 和所有不同的y1, ..., yn, 存在一个 g 在群G 使得 g⋅xk = yk 对所有 1 ≤ k ≤ n ,我们就称其为n-递移性。
- 本原的(Primitive)
- 如果递移性作用满足只有trivial区块(block),那我们称此作用为本原的。可以证明n-递移性皆为本原的。
若
是
的一个元素,且群
在
上有著一个作用,那么
的轨道
就是指以下列方式定义的
的子集:
的两个轨道,要不彼此相等,要不然其交集就是空集合。这是因为假如两个轨道
和
有一个共通元素
,那么就可以找到两个
中的元素
和
,使得
、
,同时有
,反之亦可推出
,而这使得这两个集合所有的元素都相等。
一个轨道的例子是陪集,假若
是
的一个子集,且定义
中元素的惯常运算规则为
在
上的一个作用,那么
的陪集
(
)就是
的轨道。
若S是X的一个子集,群G作用在X上( X 被称作G-set),对于群G中的所有元素 g,以及所有S中的元素 x,有著
,
则我们会说 S在G的作用下是封闭的,或是说,S在G作用下是不变的
若
是
的一个元素,对于群
中的所有元素
而言,都有
,那么就称
是
-不变的(
-invariant)。
另外若
是
的一个元素,则所有使得
的
中的元素
构成的集合又称
对于
的稳定子群(stabilizer subgroup of
with respect to
),一般常常将之记作
(注意:不要将之与上面轨道的符号混淆)。
是
的一个子群,因为根据定义
,因此
的单位元
属于
,且假若
,那么
的逆元
也是
的元素,因为
。
考虑一个映射
可以证明此映射是一个双射的函数,而这个映射的结论就是所谓的 轨道-稳定点定理
而一个跟轨道-稳定点定理相似的结果就是伯恩赛德引理,
- 任意群G在任意集合X上的平凡的群作用定义为 g⋅x = x 对任意g属于G以及任意x属于X;换句话说,每个群元素对应 X上的恒等置换。[2]