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可测函数

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可测函数(英語:measurable function)是保持可测空间結構的函数,也是勒貝格積分中主要討論的函數。

正式定義

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可測函數的定義 — 可测空间。那函数 對任意 若滿足:

則稱 為一個 - 可測函數

重要範例

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實可測函數

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取本節定義中的 实数系 ,然後取:

換句話說, 是由實數開區間所生成的博雷爾代數(注意到 本身是個拓扑基),那麼這樣的 - 可測函數 ,通常會簡稱為 - 實可測函數;甚至簡稱為實可測函數概率论裡的随机变量就是實可測函數。

博雷爾函数

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如果 正好也是拓撲空間,這時取以下兩個最小σ-代数

換句話說, 是由 开集所生成的博雷爾代數 是由 开集所生成的博雷爾代數,那這樣 - 可测函数 又称为 - 博雷爾函数(Borel function)。

根據拓撲空間连续函數的定義, - 博雷爾函数必定 - 連續,但反之不成立,原因可見下面可测函数的性质的定理(2)。

可测函数的性质

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定理(1) — 可测空间 為一集合,且有函数 。那

σ代數

證明

以下將逐條檢驗 是否符合σ代數的定義

(1)

因為:

所以

(2) ,則

,因為:

所以

(3)可數個并集仍在

,那因為:

所以

綜上所述, 的確是σ代數

定理(2) — 可测空间集合 的一個子集族 ,那對函数 來說,以下兩敘述等價:

  1. 對所有
  2. - 可測函數
證明

(1 2)

若對所有 都有:

換句話說:

那根據本節之定理(1)和最小σ代数 的定義有:

換句話說,只要 就有 ,故 - 可測函數。

(2 1)

若對所有 都有 ,換句話說:

這樣的話,的確可以從 推出

定理(3) — 可测空间拓扑空间,若: [1]

  • - 可測函數
  • - 连续函數

复合函数 - 可測函數。

證明

根據定理(2), - 可測函數等價於:

「對所有的

但因為 - 连续函數,故:

「對所有的

又為 - 可測函數,故可以得到 ,所以本定理得証。

  • 两个可测的实函数的和与积也是可测的。
  • 可数个實可测函数的最小上界也是可测的。
  • 可测函数的逐点极限是可测的。(连续函数的对应命题需要比逐点收敛更强的条件,例如一致收敛。)
  • 卢辛定理


勒贝格可测函数

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勒贝格可测函数是一个实函数f : RR,使得对于每一个实数a,集合

都是勒贝格可测的集合。勒贝格可测函数的一个有用的特征,是f是可测的当且仅当mid{-g,f,g}对于所有非负的勒贝格可积函数g都是可积的。

不可测函数

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不是所有的函数都是可测的。例如,如果是实数轴的一个不可测子集,那么它的指示函数是不可测的。

参见

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参考文献

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  1. ^ Billingsley, Patrick. Probability and Measure. Wiley. 1995. ISBN 0-471-00710-2.