跳转到内容

可测函数

本页使用了标题或全文手工转换
维基百科,自由的百科全书

可测函数(英语:measurable function)是保持可测空间结构的函数,也是勒贝格积分中主要讨论的函数。

正式定义

[编辑]

可测函数的定义 — 可测空间。那函数 对任意 若满足:

则称 为一个 - 可测函数

重要范例

[编辑]

实可测函数

[编辑]

取本节定义中的 实数系 ,然后取:

换句话说, 是由实数开区间所生成的博雷尔代数(注意到 本身是个拓扑基),那么这样的 - 可测函数 ,通常会简称为 - 实可测函数;甚至简称为实可测函数概率论里的随机变量就是实可测函数。

博雷尔函数

[编辑]

如果 正好也是拓扑空间,这时取以下两个最小σ-代数

换句话说, 是由 开集所生成的博雷尔代数 是由 开集所生成的博雷尔代数,那这样 - 可测函数 又称为 - 博雷尔函数(Borel function)。

根据拓扑空间连续函数的定义, - 博雷尔函数必定 - 连续,但反之不成立,原因可见下面可测函数的性质的定理(2)。

可测函数的性质

[编辑]

定理(1) — 可测空间 为一集合,且有函数 。那

σ代数

证明

以下将逐条检验 是否符合σ代数的定义

(1)

因为:

所以

(2) ,则

,因为:

所以

(3)可数个并集仍在

,那因为:

所以

综上所述, 的确是σ代数

定理(2) — 可测空间集合 的一个子集族 ,那对函数 来说,以下两叙述等价:

  1. 对所有
  2. - 可测函数
证明

(1 2)

若对所有 都有:

换句话说:

那根据本节之定理(1)和最小σ代数 的定义有:

换句话说,只要 就有 ,故 - 可测函数。

(2 1)

若对所有 都有 ,换句话说:

这样的话,的确可以从 推出

定理(3) — 可测空间拓扑空间,若: [1]

  • - 可测函数
  • - 连续函数

复合函数 - 可测函数。

证明

根据定理(2), - 可测函数等价于:

“对所有的

但因为 - 连续函数,故:

“对所有的

又为 - 可测函数,故可以得到 ,所以本定理得证。

  • 两个可测的实函数的和与积也是可测的。
  • 可数个实可测函数的最小上界也是可测的。
  • 可测函数的逐点极限是可测的。(连续函数的对应命题需要比逐点收敛更强的条件,例如一致收敛。)
  • 卢辛定理


勒贝格可测函数

[编辑]

勒贝格可测函数是一个实函数f : RR,使得对于每一个实数a,集合

都是勒贝格可测的集合。勒贝格可测函数的一个有用的特征,是f是可测的当且仅当mid{-g,f,g}对于所有非负的勒贝格可积函数g都是可积的。

不可测函数

[编辑]

不是所有的函数都是可测的。例如,如果是实数轴的一个不可测子集,那么它的指示函数是不可测的。

参见

[编辑]

参考文献

[编辑]
  1. ^ Billingsley, Patrick. Probability and Measure. Wiley. 1995. ISBN 0-471-00710-2.