卢津定理

卢津（Лузин）定理是实分析的定理。约略来说，这定理指可测函数差不多是连续函数。

定理叙述

一维形式

设 $f:[a,b]\to \mathbb {C}$ 是可测函数，对任何 $\epsilon >0$ ，都存在紧致集 $E\subset [a,b]$ ，使得 $\lambda ([a,b]\setminus E)<\epsilon$ ，而且f限制到E上是连续函数。此处 $\lambda$ 是勒贝格测度。

证明

因为f可测，所以在一个测度任意小的开集以外，f是有界函数。在开集上重定义f为0，那么f在[a,b]上有界，因而是可积函数。因为连续函数在可积函数的空间 $\mathrm {L} ^{1}([a,b])$ 中稠密，存在连续函数序列 $g_{i}$ 依L¹范数收敛至f，即 $\int _{a}^{b}\left|g_{i}-f\right|\to 0$ 。故此有子序列 $g_{i_{k}}$ 几乎处处收敛至f。从叶戈罗夫定理可知，除了一个测度任意小的开集外， $g_{i_{k}}$ 一致收敛至f。因为连续函数的一致收敛极限仍是连续的，故此f在此开集外连续。取E为以上两个开集的并集在[a,b]中的补集，那么原本的f在E上连续。

多维形式

设 $\mu$ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 上的正则博雷尔测度， $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ 是 $\mu$ 可测函数。X是 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的 $\mu$ 可测集，而且 $\mu (X)<\infty$ ，那么对任意 $\epsilon >0$ ，X中存在紧致集K，使得 $\mu (X\backslash K)<\epsilon$ ，而且f限制到K上是连续函数。

证明

首先，对每个正整数i，构造紧致集 $K_{i}$ 和在其上的连续函数 $g_{i}$ ，使得

\mu (X\setminus K_{i})<\epsilon /2^{i}

且在 $K_{i}$ 上有

\left|f(x)-g_{i}(x)\right|<1/i

构造方法如下：

将 $\mathbb {R} ^{m}$ 分成两两不交的博雷尔集 $(Y_{ij})_{j=1}^{\infty }$ ，使得每个集的直径都小于1/i。函数f可测，所以每个集的原像 $f^{-1}(Y_{ij})$ 是可测集。令 $X_{ij}=X\cap f^{-1}(Y_{ij})$ ，则 $X_{ij}$ 将X分成两两不交的可测集。