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盧津定理

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盧津(Лузин)定理實分析的定理。約略來說,這定理指可測函數差不多是連續函數

定理敘述

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一維形式

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可測函數,對任何,都存在緊緻集,使得,而且f限制到E上是連續函數。此處勒貝格測度

證明

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因為f可測,所以在一個測度任意小的開集以外,f有界函數。在開集上重定義f為0,那麼f在[a,b]上有界,因而是可積函數。因為連續函數在可積函數的空間稠密,存在連續函數序列L1範數收斂至f,即。故此有子序列幾乎處處收斂至f。從葉戈羅夫定理可知,除了一個測度任意小的開集外,一致收斂f。因為連續函數的一致收斂極限仍是連續的,故此f在此開集外連續。取E為以上兩個開集的並集在[a,b]中的補集,那麼原本的fE上連續。

多維形式

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上的正則博雷爾測度可測函數X中的可測集,而且,那麼對任意X中存在緊緻集K,使得,而且f限制到K上是連續函數

證明

首先,對每個正整數i,構造緊緻集和在其上的連續函數,使得

且在上有

構造方法如下:

分成兩兩不交博雷爾集,使得每個集的直徑都小於1/i。函數f可測,所以每個集的原像是可測集。令,則X分成兩兩不交的可測集。

由於是博雷爾正則測度,且,於是限制到X上是拉東測度。由拉東測度的內正則性,在中存在緊緻子集,使得

所以全部子集不交並集的測度

因為,可以取足夠大的N使得

。有限個緊緻集的並集是緊緻集,所以緊緻。因此滿足要求。

j=1,..., N,在中任取一點,並在上定義

因為在上,f的值包含在中,故此f相差小於1/i。而是兩兩不交的緊緻集,故兩兩間的距離都是正數,所以上是連續函數。因此滿足要求。

K是緊緻集,並有

函數列K一致收斂f。一致收斂保持函數的連續性,所以fK上連續。

參考

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  • Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure theory and fine properties of functions. CRC Press.