在三角形中,两条边的长度之和总是大于第三边。
证明所用的三角形
三角不等式是數學上的一個不等式,表示從A到B再到C的距離永不少於從A到C的距離;亦可以說是兩項獨立物件的量之和不少於其和的量。它除了適用於三角形之外,還適用於其他數學範疇及日常生活中。
在三角形ABC中,这个式子用标量可以写作
。
当该式取不等号时,可以由欧几里得第五公设导出;欧几里得给出的证明记载于《几何原本》第一卷命题20:(证明所用的辅助图像见右)[1]
现在,我们有三角形ABC。延长
至点D,并使
,联结
。
那么,三角形BCD为等腰三角形,所以
。记它们均为
。
根据欧几里得第五公设,角
也就是
大于角
(
,也就是
);
由于角
对应边
,角
对应边
,因此
(大角对大边,命题19)。[2]
又由于
,所以
,即证。
如果我们将该式左右各减去
,便能得到
,这便是三角不等式的另一种表达方法:三角形的两边之差小于第三边。
当该式取等号的时候,其已经不属于欧氏几何的范畴,这种情况只有可能在球面三角形中出现,此时
,而a, b, c为三角形三边的长。
用向量的写法,这个不等式可以写成:
![{\displaystyle \left|{\overrightarrow {AC}}\right|\leq \left|{\overrightarrow {AB}}\right|+\left|{\overrightarrow {BC}}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c30d4a4e6745720b0d59d3741adda70d2fcb4fd)
上式和标量的写法明显是等价的。
考虑到
,该式也可以写成:
,这种情况的形式和下方实数中的形式是一致的。
如果根据向量构建平面直角坐标系,则可以用代数的方式予以证明。
还是以右图中的三角形为例子。假设在坐标系中,向量
的方向向量为
,向量
的方向向量为
,
那么因为
,得向量
的方向向量为
。
因此,
,
。
所以,
。
而
,
,
两者相减再配方,得到
,该式实际上是
的值。
当且仅当
时,该式的值为0,而此时我们可以推出
,这说明
和
、
和
都是平行的。而由于
,也就是向量
的终点和
,也就是向量
的起点是相同的,显然
和
共线。这种情况在欧氏几何中是不可能的,只有在非欧几何的情况下才能成立。用
和
平行也一样能够推出
和
共线。
其他任何情况,也就是
时,该式取到不等号,适用于欧氏几何。
将向量形式的三角不等式两边减去相同的向量,同样能够推出三角形的两边之差小于第三边。
在实数中,此式依然成立:
。
證明如下:
考慮到實數的平方必然是非负数,將兩邊平方,使它剩下一套絕對值符號:
![{\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}\leq a^{2}+\left|2ab\right|+b^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2516543d5d86f4864a83ea1cc4adcc81143f3c40)
![{\displaystyle 2ab\leq \left|2ab\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c618280804c252f605018959cfb646d217ad6c56)
對於
(即a, b彼此異號),
;
對於
(即a, b彼此同號),
。
像几何中的情况一样,该式的推论为:
。
在閔考斯基時空,三角不等式是反方向的:
- ||x + y|| ≥ ||x|| + ||y|| 对所有 x, y
V,使得||x|| ≥ 0, ||y|| ≥ 0 和 tx ty ≥ 0
這個不等式的物理例子可以在狹義相對論中的雙生子佯謬找到。