在三角形中,兩條邊的長度之和總是大於第三邊。
證明所用的三角形
三角不等式是數學上的一個不等式,表示從A到B再到C的距離永不少於從A到C的距離;亦可以說是兩項獨立物件的量之和不少於其和的量。它除了適用於三角形之外,還適用於其他數學範疇及日常生活中。
在三角形ABC中,這個式子用標量可以寫作
。
當該式取不等號時,可以由歐幾里得第五公設導出;歐幾里得給出的證明記載於《幾何原本》第一卷命題20:(證明所用的輔助圖像見右)[1]
現在,我們有三角形ABC。延長
至點D,並使
,聯結
。
那麼,三角形BCD為等腰三角形,所以
。記它們均為
。
根據歐幾里得第五公設,角
也就是
大於角
(
,也就是
);
由於角
對應邊
,角
對應邊
,因此
(大角對大邊,命題19)。[2]
又由於
,所以
,即證。
如果我們將該式左右各減去
,便能得到
,這便是三角不等式的另一種表達方法:三角形的兩邊之差小於第三邊。
當該式取等號的時候,其已經不屬於歐氏幾何的範疇,這種情況只有可能在球面三角形中出現,此時
,而a, b, c為三角形三邊的長。
用向量的寫法,這個不等式可以寫成:
![{\displaystyle \left|{\overrightarrow {AC}}\right|\leq \left|{\overrightarrow {AB}}\right|+\left|{\overrightarrow {BC}}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c30d4a4e6745720b0d59d3741adda70d2fcb4fd)
上式和標量的寫法明顯是等價的。
考慮到
,該式也可以寫成:
,這種情況的形式和下方實數中的形式是一致的。
如果根據向量構建平面直角坐標系,則可以用代數的方式予以證明。
還是以右圖中的三角形為例子。假設在坐標系中,向量
的方向向量為
,向量
的方向向量為
,
那麼因為
,得向量
的方向向量為
。
因此,
,
。
所以,
。
而
,
,
兩者相減再配方,得到
,該式實際上是
的值。
當且僅當
時,該式的值為0,而此時我們可以推出
,這說明
和
、
和
都是平行的。而由於
,也就是向量
的終點和
,也就是向量
的起點是相同的,顯然
和
共線。這種情況在歐氏幾何中是不可能的,只有在非歐幾何的情況下才能成立。用
和
平行也一樣能夠推出
和
共線。
其他任何情況,也就是
時,該式取到不等號,適用於歐氏幾何。
將向量形式的三角不等式兩邊減去相同的向量,同樣能夠推出三角形的兩邊之差小於第三邊。
在實數中,此式依然成立:
。
證明如下:
考慮到實數的平方必然是非負數,將兩邊平方,使它剩下一套絕對值符號:
![{\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}\leq a^{2}+\left|2ab\right|+b^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2516543d5d86f4864a83ea1cc4adcc81143f3c40)
![{\displaystyle 2ab\leq \left|2ab\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c618280804c252f605018959cfb646d217ad6c56)
對於
(即a, b彼此異號),
;
對於
(即a, b彼此同號),
。
像幾何中的情況一樣,該式的推論為:
。
在閔考斯基時空,三角不等式是反方向的:
- ||x + y|| ≥ ||x|| + ||y|| 對所有 x, y
V,使得||x|| ≥ 0, ||y|| ≥ 0 和 tx ty ≥ 0
這個不等式的物理例子可以在狹義相對論中的雙生子佯謬找到。