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三角不等式

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在三角形中,兩條邊的長度之和總是大於第三邊。
證明所用的三角形

三角不等式數學上的一個不等式,表示從A到B再到C的距離永不少於從A到C的距離;亦可以說是兩項獨立物件的量之和不少於其和的量。它除了適用於三角形之外,還適用於其他數學範疇及日常生活中。

幾何

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純量

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在三角形ABC中,這個式子用純量可以寫作

當該式取不等號時,可以由歐幾里得第五公設導出;歐幾里得給出的證明記載於《幾何原本》第一卷命題20:(證明所用的輔助圖像見右)[1]

現在,我們有三角形ABC。延長至點D,並使,聯結

那麼,三角形BCD為等腰三角形,所以。記它們均為

根據歐幾里得第五公設,角也就是大於角,也就是);

由於角對應邊,角對應邊,因此(大角對大邊,命題19)。[2]

又由於,所以,即證。

如果我們將該式左右各減去,便能得到,這便是三角不等式的另一種表達方法:三角形的兩邊之差小於第三邊

當該式取等號的時候,其已經不屬於歐氏幾何的範疇,這種情況只有可能在球面三角形中出現,此時,而a, b, c為三角形三邊的長。

向量

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向量的寫法,這個不等式可以寫成:

上式和純量的寫法明顯是等價的。

考慮到,該式也可以寫成:,這種情況的形式和下方實數中的形式是一致的。

如果根據向量構建平面直角坐標系,則可以用代數的方式予以證明。

還是以右圖中的三角形為例子。假設在坐標系中,向量的方向向量為,向量的方向向量為

那麼因為,得向量的方向向量為

因此,

所以,

兩者相減再配方,得到,該式實際上是的值。

若且唯若時,該式的值為0,而此時我們可以推出,這說明都是平行的。而由於,也就是向量的終點和,也就是向量的起點是相同的,顯然共線。這種情況在歐氏幾何中是不可能的,只有在非歐幾何的情況下才能成立。用平行也一樣能夠推出共線。

其他任何情況,也就是時,該式取到不等號,適用於歐氏幾何。

將向量形式的三角不等式兩邊減去相同的向量,同樣能夠推出三角形的兩邊之差小於第三邊。

實數

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在實數中,此式依然成立:

證明如下:

考慮到實數的平方必然是非負數,將兩邊平方,使它剩下一套絕對值符號:

對於(即a, b彼此異號),

對於(即a, b彼此同號),

像幾何中的情況一樣,該式的推論為:

反方向

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閔考斯基時空,三角不等式是反方向的:

||x + y|| ≥ ||x|| + ||y||     對所有 x, y V,使得||x|| ≥ 0, ||y|| ≥ 0 和 tx ty ≥ 0

這個不等式的物理例子可以在狹義相對論中的雙生子佯謬找到。

參見

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參考文獻

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  1. ^ Euclid's Elements, Book I, Proposition 20. mathcs.clarku.edu. [2018-07-09]. (原始內容存檔於2017-08-15). 
  2. ^ Euclid's Elements, Book I, Proposition 19. mathcs.clarku.edu. [2018-07-09]. (原始內容存檔於2021-12-08).