阿罗悖论

阿罗不可能定理（英语：Arrow's impossibility theorem）或阿罗悖论（Arrow's paradox）指的是诺贝尔奖得主肯尼斯·阿罗提出的一项社会理论。其描述的是在有三个以上的选项时，没有任何“排名投票”机制可以既把个人偏好的排名转变为代表整个群体的排序，而且还兼顾普遍性（不考虑特别限制以外的所有民众都能投票）、非独裁（并非由唯一选民决定结果）、帕累托效率（有人变好就要有人变差），以及独立性（不相干的人投票不应连动）。

命题

有 N 种选择，有 m 个决策者，他们每个人都对这 N 个选择有一个从优至劣的排序。我们要设计一种选举法则，使得将这 m 个排序的信息汇总成一个新的排序，称为投票结果。我们希望这种法则满足以下条件：

一致性 (unanimity)

或称为“帕累托效率” (Pareto efficiency)。即如果所有的 m 个决策者都认为选择 a 优于 b，那么在投票结果中，a 也优于 b。

非独裁 (non-dictatorship)

不存在一个决策者 X，使得投票结果总是等同于 X 的排序。

独立于无关选项 (independence of irrelevant alternatives, IIA)

如果现在一些决策者改了主意，但是在每个决策者的排序中，a 和 b 的相对位置不变，那么在投票结果中 a 和 b 的相对位置也不变。

那么，如果 N 大于等于 3，我们不可能设计出这种制度。

例子

例如，某日人们举办一个投票，这个投票问卷只有一个问题，包含若干个选项，投票者根据自己的偏好给这几个选项排序。人们希望满足以下几个条件：

• 投票的结果应该能表现出多个参加者的偏好，而不是某个人的偏好。
• 它应该能体现所有参加者的偏好，并且如果有2次投票所有人投的票相同，结果也一定相同。
• 如果人们改变了某2个选项的相对优先级，那么这变化不应该影响其他选项的相对优先级。
• 如果一个人提高了某个选项的优先级，那么在结果中，这个选项的优先级不能因此下降。
• 所有结果的排序都应该是可能达到的。

阿罗的结论是，如果有2个或以上的人参加投票，并且问题有3个或以上的选项，那么以上的这些条件不可能同时满足。

参考文献

书籍

• [美]肯尼斯·约瑟夫·阿罗《社会选择：个性与多准则》，北京首都经济贸易大学出版社，2000：25～26页

外部链接

• Tang, Pingzhong; Lin, Fangzhen. Computer-aided Proofs of Arrow's and Other Impossibility Theorems. Artificial Intelligence. 2009, 173: 1041–1053. doi:10.1016/j.artint.2009.02.005. 

参见

• 投票悖论
• 阿马蒂亚·库马尔·森
• 中村数