阿羅悖論

阿羅不可能定理（英語：Arrow's impossibility theorem）或阿羅悖論（Arrow's paradox）指的是諾貝爾獎得主肯尼斯·阿羅提出的一項社會理論。其描述的是在有三個以上的選項時，沒有任何「排名投票」機制可以既把個人偏好的排名轉變為代表整個群體的排序，而且還兼顧普遍性（不考慮特別限制以外的所有民眾都能投票）、非獨裁（並非由唯一選民決定結果）、柏拉圖效率（有人變好就要有人變差），以及獨立性（不相干的人投票不應連動）。

命題

有 N 種選擇，有 m 個決策者，他們每個人都對這 N 個選擇有一個從優至劣的排序。我們要設計一種選舉法則，使得將這 m 個排序的資訊彙總成一個新的排序，稱為投票結果。我們希望這種法則滿足以下條件：

一致性 (unanimity)

或稱為「柏拉圖效率」 (Pareto efficiency)。即如果所有的 m 個決策者都認為選擇 a 優於 b，那麼在投票結果中，a 也優於 b。

非獨裁 (non-dictatorship)

不存在一個決策者 X，使得投票結果總是等同於 X 的排序。

獨立於無關選項 (independence of irrelevant alternatives, IIA)

如果現在一些決策者改了主意，但是在每個決策者的排序中，a 和 b 的相對位置不變，那麼在投票結果中 a 和 b 的相對位置也不變。

那麼，如果 N 大於等於 3，我們不可能設計出這種制度。

例子

例如，某日人們舉辦一個投票，這個投票問卷只有一個問題，包含若干個選項，投票者根據自己的偏好給這幾個選項排序。人們希望滿足以下幾個條件：

• 投票的結果應該能表現出多個參加者的偏好，而不是某個人的偏好。
• 它應該能體現所有參加者的偏好，並且如果有2次投票所有人投的票相同，結果也一定相同。
• 如果人們改變了某2個選項的相對優先級，那麼這變化不應該影響其他選項的相對優先級。
• 如果一個人提高了某個選項的優先級，那麼在結果中，這個選項的優先級不能因此下降。
• 所有結果的排序都應該是可能達到的。

阿羅的結論是，如果有2個或以上的人參加投票，並且問題有3個或以上的選項，那麼以上的這些條件不可能同時滿足。

參考文獻

書籍

• [美]肯尼斯·約瑟夫·阿羅《社會選擇：個性與多準則》，北京首都經濟貿易大學出版社，2000：25～26頁

外部連結

• Tang, Pingzhong; Lin, Fangzhen. Computer-aided Proofs of Arrow's and Other Impossibility Theorems. Artificial Intelligence. 2009, 173: 1041–1053. doi:10.1016/j.artint.2009.02.005. 

參見

• 投票悖論
• 阿馬蒂亞·庫馬爾·森
• 中村數