本质奇点
外观
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在复分析中,一个函数的本质奇点(Essential Singularity)又称本性奇点,是奇点中的“嚴謹”的一类。函数在本质奇点附近会有“极端”的行为。
粗略来说,对复平面 C 上的给定的开子集 U,以及 U 中的一点 ,亚纯函数 f : U\{a} → C 在 处有本质奇点当且仅当它不是极点也不是可去奇点。
例如,函数 在 处有一个本质奇点。
严格地说,点 是 的本质奇点当且仅当 在 处的极限 不存在(既不是一个复数,也不是无穷大)。这种情况会发生当且仅当 在 附近的每一个邻域中都有极点,或者 在 处的洛朗展开中含有无穷多个负指数项(即其主部是无穷级数)。
亚纯函数在本质奇点附近的行为可以用魏尔斯特拉斯-卡索拉蒂定理或更为强大的皮卡定理描述。皮卡定理说明:在 的本质奇点 附近的每一个邻域中都会取遍全体复数(或者除了一个值之外)。
参见
[编辑]参考来源
[编辑]- Weisstein, Eric W. (编). Essential Singularity. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [18 February 2008]. (原始内容存档于2008-06-22) (英语).
- Lars V. Ahlfors; Complex Analysis, McGraw-Hill, 1979
- Rajendra Kumar Jain, S. R. K. Iyengar; Advanced Engineering Mathematics. Page 920. Alpha Science International, Limited, 2004. ISBN 1-842-65185-4