本質奇點
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在複分析中,一個函數的本質奇點(Essential Singularity)又稱本性奇點,是奇點中的「嚴謹」的一類。函數在本質奇點附近會有「極端」的行為。
粗略來說,對複平面 C 上的給定的開子集 U,以及 U 中的一點 ,亞純函數 f : U\{a} → C 在 處有本質奇點當且僅當它不是極點也不是可去奇點。
例如,函數 在 處有一個本質奇點。
嚴格地說,點 是 的本質奇點當且僅當 在 處的極限 不存在(既不是一個複數,也不是無窮大)。這種情況會發生當且僅當 在 附近的每一個鄰域中都有極點,或者 在 處的洛朗展開中含有無窮多個負指數項(即其主部是無窮級數)。
亞純函數在本質奇點附近的行為可以用魏爾斯特拉斯-卡索拉蒂定理或更為強大的皮卡定理描述。皮卡定理說明:在 的本質奇點 附近的每一個鄰域中都會取遍全體複數(或者除了一個值之外)。
參見
[編輯]參考來源
[編輯]- Weisstein, Eric W. (編). Essential Singularity. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [18 February 2008]. (原始內容存檔於2008-06-22) (英語).
- Lars V. Ahlfors; Complex Analysis, McGraw-Hill, 1979
- Rajendra Kumar Jain, S. R. K. Iyengar; Advanced Engineering Mathematics. Page 920. Alpha Science International, Limited, 2004. ISBN 1-842-65185-4