歡迎到維基數學家數學系學院!
編輯 | 數學Dyk存檔 | 創建新條目 | 更多新條目...
導數(英語:
Derivative)是
微積分學中重要的基礎概念。一個
函數在某一點的導數描述了這個函數在這一點附近的變化率。導數的本質是通過
極限的概念對函數進行局部的線性逼近。當函數
![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
的自變量在一點
![{\displaystyle x_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf)
上產生一個增量
![{\displaystyle h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a)
時,函數輸出值的增量與自變量增量
![{\displaystyle h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a)
的比值在
![{\displaystyle h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a)
趨於0時的極限如果存在,即為
![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
在
![{\displaystyle x_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf)
處的導數,記作
![{\displaystyle f'(x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc15f7bc4034ace9faccf92eb8e3f245541c5e6e)
、
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bcff8b1367c6b56e6080bc147d50d86f9b2c827)
或
![{\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\right|_{x=x_{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e1cea4e6e96772bcbc80495f4f072890c20b756)
。例如在
運動學中,物體的
位移對於
時間的導數就是物體的瞬時
速度。導數是函數的局部性質。不是所有的函數都有導數,一個函數也不一定在所有的點上都有導數。若某函數在某一點導數存在,則稱其在這一點可導,否則稱為不可導。如果函數的自變量和取值都是實數的話,那麼函數在某一點的導數就是該函數所代表的曲線在這一點上的
切線斜率。對於可導的函數
![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
,
![{\displaystyle x\mapsto f'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c39e729d559442252583e982aaaec33f1bd5eeb)
也是一個函數,稱作
![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
的
導函數。尋找已知的函數在某點的導數或其導函數的過程稱為
求導。反之,已知導函數也可以倒過來求原來的函數,即
不定積分。
微積分基本定理說明了求原函數與
積分是等價的。求導和積分是一對互逆的操作,它們都是微積分學中最為基礎的概念。