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导数(英语:
Derivative)是
微积分学中重要的基础概念。一个
函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。导数的本质是通过
极限的概念对函数进行局部的线性逼近。当函数
![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
的自变量在一点
![{\displaystyle x_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf)
上产生一个增量
![{\displaystyle h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a)
时,函数输出值的增量与自变量增量
![{\displaystyle h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a)
的比值在
![{\displaystyle h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a)
趋于0时的极限如果存在,即为
![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
在
![{\displaystyle x_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf)
处的导数,记作
![{\displaystyle f'(x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc15f7bc4034ace9faccf92eb8e3f245541c5e6e)
、
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bcff8b1367c6b56e6080bc147d50d86f9b2c827)
或
![{\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\right|_{x=x_{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e1cea4e6e96772bcbc80495f4f072890c20b756)
。例如在
运动学中,物体的
位移对于
时间的导数就是物体的瞬时
速度。导数是函数的局部性质。不是所有的函数都有导数,一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在,则称其在这一点可导,否则称为不可导。如果函数的自变量和取值都是实数的话,那么函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的
切线斜率。对于可导的函数
![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
,
![{\displaystyle x\mapsto f'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c39e729d559442252583e982aaaec33f1bd5eeb)
也是一个函数,称作
![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
的
导函数。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为
求导。反之,已知导函数也可以倒过来求原来的函数,即
不定积分。
微积分基本定理说明了求原函数与
积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作,它们都是微积分学中最为基础的概念。