LOCC 是 Local Operations(局域操作)and Classical Communications(古典通訊)的縮寫,它是一種用在量子資訊 上、對量子態進行操作的方法。簡單的說,當一個量子系統被分成許多部份,每個部份的測量和操作只限制在該部分上,各個部分之間允許古典通訊,例如:打電話。許多量子資訊 的工作必須藉由 LOCC 來完成,例如:假設某次實驗室製備了一個貝爾態 ,但是卻不能確定這個貝爾態 是
|
ψ
1
⟩
{\displaystyle |\psi _{1}\rangle }
還是
|
ψ
2
⟩
{\displaystyle |\psi _{2}\rangle }
,其中
|
ψ
1
⟩
{\displaystyle |\psi _{1}\rangle }
和
|
ψ
2
⟩
{\displaystyle |\psi _{2}\rangle }
是
局域操作和古典通訊示意圖
|
ψ
1
⟩
=
1
2
(
|
0
⟩
A
⊗
|
0
⟩
B
+
|
1
⟩
A
⊗
|
1
⟩
B
)
{\displaystyle |\psi _{1}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}\right)}
|
ψ
2
⟩
=
1
2
(
|
0
⟩
A
⊗
|
1
⟩
B
+
|
1
⟩
A
⊗
|
0
⟩
B
)
{\displaystyle |\psi _{2}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\right)}
A和B兩個量子位元 是分隔兩地的,並且由愛麗絲 對量子位元 A進行操作,由鮑勃 對量子位元 B進行操作。首先愛麗絲 測量量子位元 A並得到結果0,此時我們仍不知道當初實驗室製備的貝爾態 是
|
ψ
1
⟩
{\displaystyle |\psi _{1}\rangle }
還是
|
ψ
2
⟩
{\displaystyle |\psi _{2}\rangle }
。這時候愛麗絲 藉由打電話把結果告訴鮑勃 ,接著鮑勃 對量子位元 B進行測量並得到結果0,現在鮑勃 得知波函式 塌縮成
|
0
⟩
A
⊗
|
0
⟩
B
{\displaystyle |0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}}
,所以推得實驗室製備的貝爾態 是
|
ψ
1
⟩
{\displaystyle |\psi _{1}\rangle }
。
將一個量子系統分成兩部分,利用 LOCC 操作,把一個糾纏態轉換成另一個糾纏態。
舉例說明:愛麗絲 和鮑勃 分別擁有一個糾纏態(純態)的一部分,例如
1
2
(
∣↑↓
⟩
−
∣↓↑
⟩
)
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\mid \uparrow \downarrow \rangle -\mid \downarrow \uparrow \rangle )}
。愛麗絲 和鮑勃 都只能對各自的自旋進行操作,也就是Local Operation的意思。當然這個操作也包含測量,當愛麗絲 進行Sz 的測量後,得到本徵值+ħ/2,波函式塌縮成
∣
↑↓
⟩
{\displaystyle \mid \uparrow \downarrow \rangle }
,然後愛麗絲 透過電話告訴鮑勃 結果,這就是Classical Communications,鮑勃 知道結果後也相應做了一個Local Operation,現在鮑勃 做σx 操作,於是波函式變為
∣
↑↑
⟩
{\displaystyle \mid \uparrow \uparrow \rangle }
。如果剛才愛麗絲 測得本徵值-ħ/2,波函式塌縮成
∣
↓↑
⟩
{\displaystyle \mid \downarrow \uparrow \rangle }
,則愛麗絲 立即進行σx 操作,然後經由電話告訴鮑勃 ,要求鮑勃 不做任何操作,結果仍然可將波函式透過利用LOCC轉換成
∣
↑↑
⟩
{\displaystyle \mid \uparrow \uparrow \rangle }
。
顯然利用 LOCC 把某個態
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
轉換成
|
ϕ
⟩
{\displaystyle |\phi \rangle }
,A與B之間的糾纏只能變小或維持不變。但是並不是只要
|
ϕ
⟩
{\displaystyle |\phi \rangle }
的糾纏熵 比
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
的糾纏熵 還小就必定能透過 LOCC 作轉換。要判斷可不可轉,首先,可以把
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
和
|
ϕ
⟩
{\displaystyle |\phi \rangle }
分別做施密特分解 :
|
ψ
⟩
=
∑
i
=
1
D
ω
i
|
a
i
⟩
|
b
i
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i=1}^{D}{\sqrt {\omega _{i}}}|a_{i}\rangle |b_{i}\rangle }
|
ϕ
⟩
=
∑
i
=
1
D
ω
i
′
|
a
i
′
⟩
|
b
i
′
⟩
{\displaystyle |\phi \rangle =\sum _{i=1}^{D}{\sqrt {\omega _{i}'}}|a_{i}'\rangle |b_{i}'\rangle }
將Schmidt值由大至小排列然後進行比較。尼爾森(Nielsen)在1999年提出定理[ 1] :
若Majorization
∑
i
=
1
k
ω
i
≤
∑
i
=
1
k
ω
i
′
{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\omega _{i}\leq \sum _{i=1}^{k}\omega _{i}'}
,
對於所有
k
{\displaystyle k}
都成立,則
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
可利用LOCC轉換成
|
ϕ
⟩
{\displaystyle |\phi \rangle }
。
然而若上述條件不成立,並不表示 LOCC 轉換必定不成立。如果允許引入催化態 ,LOCC 轉換仍有可能的。
Jonathan 和 Plenio 在尼爾森定理發表不久即給出一個催化轉換的例子[ 2] :考慮
|
ψ
⟩
=
0.4
|
00
⟩
+
0.4
|
11
⟩
+
0.1
|
22
⟩
+
0.1
|
33
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle ={\sqrt {0.4}}|00\rangle +{\sqrt {0.4}}|11\rangle +{\sqrt {0.1}}|22\rangle +{\sqrt {0.1}}|33\rangle }
|
ϕ
⟩
=
0.5
|
00
⟩
+
0.25
|
11
⟩
+
0.25
|
22
⟩
{\displaystyle |\phi \rangle ={\sqrt {0.5}}|00\rangle +{\sqrt {0.25}}|11\rangle +{\sqrt {0.25}}|22\rangle }
|
c
⟩
=
0.6
∣↑↑
⟩
+
0.4
∣↓↓
⟩
{\displaystyle |c\rangle ={\sqrt {0.6}}\mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.4}}\mid \downarrow \downarrow \rangle }
以上三個態已經過施密特分解 且係數皆由大至小排列,以下進行
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
和
|
ϕ
⟩
{\displaystyle |\phi \rangle }
驗算係數的前
k
{\displaystyle k}
項之和:
k
{\displaystyle k}
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
|
ϕ
⟩
{\displaystyle |\phi \rangle }
0
0.4
0.5
1
0.8
0.65
2
0.9
1.0
3
1.0
1.0
以上表格中,若「
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
的前
k
{\displaystyle k}
項之和」比「
|
ϕ
⟩
{\displaystyle |\phi \rangle }
的前
k
{\displaystyle k}
項之和」小的話,填入綠色;大的話,填入紅色;相等則是留下白色。如此一來,觀察
k
{\displaystyle k}
方向的顏色 便一目了然。如果所有顏色皆為綠色,則表示
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
可經由LOCC轉換成
|
ϕ
⟩
{\displaystyle |\phi \rangle }
;如果所有顏色皆為紅色,則表示
|
ϕ
⟩
{\displaystyle |\phi \rangle }
可經由LOCC轉換成
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
;如果顏色既有紅色又有綠色,則說明若無催化態便不可轉換。
那麼什麼是「催化轉換」和「催化態」呢?我們考慮直積態
|
ψ
⟩
|
c
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle |c\rangle }
和
|
ϕ
⟩
|
c
⟩
{\displaystyle |\phi \rangle |c\rangle }
:
|
ψ
⟩
|
c
⟩
=
0.24
|
00
⟩
∣↑↑
⟩
+
0.24
|
11
⟩
∣↑↑
⟩
+
0.16
|
00
⟩
∣↓↓
⟩
+
0.16
|
11
⟩
∣↓↓
⟩
+
0.06
|
22
⟩
∣↑↑
⟩
+
0.06
|
33
⟩
∣↑↑
⟩
+
0.04
|
22
⟩
∣↓↓
⟩
+
0.04
|
33
⟩
∣↓↓
⟩
{\displaystyle {\begin{aligned}|\psi \rangle |c\rangle &={\sqrt {0.24}}|00\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.24}}|11\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.16}}|00\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.16}}|11\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \\&+{\sqrt {0.06}}|22\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.06}}|33\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.04}}|22\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.04}}|33\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \end{aligned}}}
|
ϕ
⟩
|
c
⟩
=
0.30
|
00
⟩
∣↑↑
⟩
+
0.20
|
00
⟩
∣↓↓
⟩
+
0.15
|
11
⟩
∣↑↑
⟩
+
0.15
|
22
⟩
∣↑↑
⟩
+
0.10
|
11
⟩
∣↓↓
⟩
+
0.10
|
22
⟩
∣↓↓
⟩
{\displaystyle {\begin{aligned}|\phi \rangle |c\rangle &={\sqrt {0.30}}|00\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.20}}|00\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.15}}|11\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.15}}|22\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle \\&+{\sqrt {0.10}}|11\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.10}}|22\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \end{aligned}}}
以上各項已按照由大至小排列,接著同樣進行製作表格計算前
k
{\displaystyle k}
項之和:
k
{\displaystyle k}
|
ψ
⟩
|
c
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle |c\rangle }
|
ϕ
⟩
|
c
⟩
{\displaystyle |\phi \rangle |c\rangle }
0
0.24
0.30
1
0.48
0.50
2
0.64
0.65
3
0.80
0.80
4
0.86
0.90
5
0.92
1.00
6
0.96
1.00
7
1.00
1.00
表格做完馬上看出所有顏色皆為綠色,因此根據尼爾森定理,
|
ψ
⟩
|
c
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle |c\rangle }
透過LOCC轉換成
|
ϕ
⟩
|
c
⟩
{\displaystyle |\phi \rangle |c\rangle }
是可以的。由於
|
c
⟩
{\displaystyle |c\rangle }
只是從直積態中直接加入然後轉換完畢便可取走,很像化學反應中的催化劑 ,因此可稱
|
c
⟩
{\displaystyle |c\rangle }
是催化態。
2007年塔庫(Turgut)證明了定理[ 3]
[ 4]
[ 5]
[ 6]
^ M. A. Nielsen, Phys. Rev. Lett. 83 , 436 - 439 (1999)
^ D. Jonathan and M. B. Plenio, Phys. Rev. Lett. 83 , 3566 (1999)
^ S. Turgut, J. Phys. A: Math. Theor. 40 , 12185 (2007)
^ J. Cui, M. Gu, et al. Quantum phases with differing computational power. Nat. Commun. 3 , 812 (2012) (頁面存檔備份 ,存於網際網路檔案館 ).
^ F. Franchini, J. Cui, . Amico, H. Fan, M. Gu, V. Korepin, L. C. Kwek, and V. Vedral, Local Convertibility and the Quantum Simulation of Edge States in Many-Body Systems, Phys. Rev. X 4 , 041028 (2014)
^ Y.-C. Tzeng, L. Dai, et al. Entanglement convertibility by sweeping through the quantum phases of the alternating bonds XXZ chain. Sci. Rep. 6 , 26453 (2016) (頁面存檔備份 ,存於網際網路檔案館 ).