LOCC 是 Local Operations(局域操作)and Classical Communications(经典通信)的缩写,它是一种用在量子信息 上、对量子态进行操作的方法。简单的说,当一个量子系统被分成许多部分,每个部分的测量和操作只限制在该部分上,各个部分之间允许经典通信,例如:打电话。许多量子信息 的工作必须借由 LOCC 来完成,例如:假设某次实验室制备了一个贝尔态 ,但是却不能确定这个贝尔态 是
|
ψ
1
⟩
{\displaystyle |\psi _{1}\rangle }
还是
|
ψ
2
⟩
{\displaystyle |\psi _{2}\rangle }
,其中
|
ψ
1
⟩
{\displaystyle |\psi _{1}\rangle }
和
|
ψ
2
⟩
{\displaystyle |\psi _{2}\rangle }
是
局域操作和经典通信示意图
|
ψ
1
⟩
=
1
2
(
|
0
⟩
A
⊗
|
0
⟩
B
+
|
1
⟩
A
⊗
|
1
⟩
B
)
{\displaystyle |\psi _{1}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}\right)}
|
ψ
2
⟩
=
1
2
(
|
0
⟩
A
⊗
|
1
⟩
B
+
|
1
⟩
A
⊗
|
0
⟩
B
)
{\displaystyle |\psi _{2}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\right)}
A和B两个量子比特 是分隔两地的,并且由爱丽丝 对量子比特 A进行操作,由鲍勃 对量子比特 B进行操作。首先爱丽丝 测量量子比特 A并得到结果0,此时我们仍不知道当初实验室制备的贝尔态 是
|
ψ
1
⟩
{\displaystyle |\psi _{1}\rangle }
还是
|
ψ
2
⟩
{\displaystyle |\psi _{2}\rangle }
。这时候爱丽丝 借由打电话把结果告诉鲍勃 ,接着鲍勃 对量子比特 B进行测量并得到结果0,现在鲍勃 得知波函数 坍缩成
|
0
⟩
A
⊗
|
0
⟩
B
{\displaystyle |0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}}
,所以推得实验室制备的贝尔态 是
|
ψ
1
⟩
{\displaystyle |\psi _{1}\rangle }
。
将一个量子系统分成两部分,利用 LOCC 操作,把一个纠缠态转换成另一个纠缠态。
举例说明:爱丽丝 和鲍勃 分别拥有一个纠缠态(纯态)的一部分,例如
1
2
(
∣↑↓
⟩
−
∣↓↑
⟩
)
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\mid \uparrow \downarrow \rangle -\mid \downarrow \uparrow \rangle )}
。爱丽丝 和鲍勃 都只能对各自的自旋进行操作,也就是Local Operation的意思。当然这个操作也包含测量,当爱丽丝 进行Sz 的测量后,得到本征值+ħ/2,波函数坍缩成
∣
↑↓
⟩
{\displaystyle \mid \uparrow \downarrow \rangle }
,然后爱丽丝 透过电话告诉鲍勃 结果,这就是Classical Communications,鲍勃 知道结果后也相应做了一个Local Operation,现在鲍勃 做σx 操作,于是波函数变为
∣
↑↑
⟩
{\displaystyle \mid \uparrow \uparrow \rangle }
。如果刚才爱丽丝 测得本征值-ħ/2,波函数坍缩成
∣
↓↑
⟩
{\displaystyle \mid \downarrow \uparrow \rangle }
,则爱丽丝 立即进行σx 操作,然后经由电话告诉鲍勃 ,要求鲍勃 不做任何操作,结果仍然可将波函数透过利用LOCC转换成
∣
↑↑
⟩
{\displaystyle \mid \uparrow \uparrow \rangle }
。
显然利用 LOCC 把某个态
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
转换成
|
ϕ
⟩
{\displaystyle |\phi \rangle }
,A与B之间的纠缠只能变小或维持不变。但是并不是只要
|
ϕ
⟩
{\displaystyle |\phi \rangle }
的纠缠熵 比
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
的纠缠熵 还小就必定能透过 LOCC 作转换。要判断可不可转,首先,可以把
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
和
|
ϕ
⟩
{\displaystyle |\phi \rangle }
分别做施密特分解 :
|
ψ
⟩
=
∑
i
=
1
D
ω
i
|
a
i
⟩
|
b
i
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i=1}^{D}{\sqrt {\omega _{i}}}|a_{i}\rangle |b_{i}\rangle }
|
ϕ
⟩
=
∑
i
=
1
D
ω
i
′
|
a
i
′
⟩
|
b
i
′
⟩
{\displaystyle |\phi \rangle =\sum _{i=1}^{D}{\sqrt {\omega _{i}'}}|a_{i}'\rangle |b_{i}'\rangle }
将Schmidt值由大至小排列然后进行比较。尼尔森(Nielsen)在1999年提出定理[ 1] :
若Majorization
∑
i
=
1
k
ω
i
≤
∑
i
=
1
k
ω
i
′
{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\omega _{i}\leq \sum _{i=1}^{k}\omega _{i}'}
,
对于所有
k
{\displaystyle k}
都成立,则
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
可利用LOCC转换成
|
ϕ
⟩
{\displaystyle |\phi \rangle }
。
然而若上述条件不成立,并不表示 LOCC 转换必定不成立。如果允许引入催化态 ,LOCC 转换仍有可能的。
Jonathan 和 Plenio 在尼尔森定理发表不久即给出一个催化转换的例子[ 2] :考虑
|
ψ
⟩
=
0.4
|
00
⟩
+
0.4
|
11
⟩
+
0.1
|
22
⟩
+
0.1
|
33
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle ={\sqrt {0.4}}|00\rangle +{\sqrt {0.4}}|11\rangle +{\sqrt {0.1}}|22\rangle +{\sqrt {0.1}}|33\rangle }
|
ϕ
⟩
=
0.5
|
00
⟩
+
0.25
|
11
⟩
+
0.25
|
22
⟩
{\displaystyle |\phi \rangle ={\sqrt {0.5}}|00\rangle +{\sqrt {0.25}}|11\rangle +{\sqrt {0.25}}|22\rangle }
|
c
⟩
=
0.6
∣↑↑
⟩
+
0.4
∣↓↓
⟩
{\displaystyle |c\rangle ={\sqrt {0.6}}\mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.4}}\mid \downarrow \downarrow \rangle }
以上三个态已经过施密特分解 且系数皆由大至小排列,以下进行
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
和
|
ϕ
⟩
{\displaystyle |\phi \rangle }
验算系数的前
k
{\displaystyle k}
项之和:
k
{\displaystyle k}
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
|
ϕ
⟩
{\displaystyle |\phi \rangle }
0
0.4
0.5
1
0.8
0.65
2
0.9
1.0
3
1.0
1.0
以上表格中,若“
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
的前
k
{\displaystyle k}
项之和”比“
|
ϕ
⟩
{\displaystyle |\phi \rangle }
的前
k
{\displaystyle k}
项之和”小的话,填入绿色;大的话,填入红色;相等则是留下白色。如此一来,观察
k
{\displaystyle k}
方向的颜色 便一目了然。如果所有颜色皆为绿色,则表示
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
可经由LOCC转换成
|
ϕ
⟩
{\displaystyle |\phi \rangle }
;如果所有颜色皆为红色,则表示
|
ϕ
⟩
{\displaystyle |\phi \rangle }
可经由LOCC转换成
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
;如果颜色既有红色又有绿色,则说明若无催化态便不可转换。
那么什么是“催化转换”和“催化态”呢?我们考虑直积态
|
ψ
⟩
|
c
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle |c\rangle }
和
|
ϕ
⟩
|
c
⟩
{\displaystyle |\phi \rangle |c\rangle }
:
|
ψ
⟩
|
c
⟩
=
0.24
|
00
⟩
∣↑↑
⟩
+
0.24
|
11
⟩
∣↑↑
⟩
+
0.16
|
00
⟩
∣↓↓
⟩
+
0.16
|
11
⟩
∣↓↓
⟩
+
0.06
|
22
⟩
∣↑↑
⟩
+
0.06
|
33
⟩
∣↑↑
⟩
+
0.04
|
22
⟩
∣↓↓
⟩
+
0.04
|
33
⟩
∣↓↓
⟩
{\displaystyle {\begin{aligned}|\psi \rangle |c\rangle &={\sqrt {0.24}}|00\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.24}}|11\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.16}}|00\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.16}}|11\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \\&+{\sqrt {0.06}}|22\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.06}}|33\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.04}}|22\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.04}}|33\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \end{aligned}}}
|
ϕ
⟩
|
c
⟩
=
0.30
|
00
⟩
∣↑↑
⟩
+
0.20
|
00
⟩
∣↓↓
⟩
+
0.15
|
11
⟩
∣↑↑
⟩
+
0.15
|
22
⟩
∣↑↑
⟩
+
0.10
|
11
⟩
∣↓↓
⟩
+
0.10
|
22
⟩
∣↓↓
⟩
{\displaystyle {\begin{aligned}|\phi \rangle |c\rangle &={\sqrt {0.30}}|00\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.20}}|00\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.15}}|11\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.15}}|22\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle \\&+{\sqrt {0.10}}|11\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.10}}|22\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \end{aligned}}}
以上各项已按照由大至小排列,接着同样进行制作表格计算前
k
{\displaystyle k}
项之和:
k
{\displaystyle k}
|
ψ
⟩
|
c
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle |c\rangle }
|
ϕ
⟩
|
c
⟩
{\displaystyle |\phi \rangle |c\rangle }
0
0.24
0.30
1
0.48
0.50
2
0.64
0.65
3
0.80
0.80
4
0.86
0.90
5
0.92
1.00
6
0.96
1.00
7
1.00
1.00
表格做完马上看出所有颜色皆为绿色,因此根据尼尔森定理,
|
ψ
⟩
|
c
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle |c\rangle }
透过LOCC转换成
|
ϕ
⟩
|
c
⟩
{\displaystyle |\phi \rangle |c\rangle }
是可以的。由于
|
c
⟩
{\displaystyle |c\rangle }
只是从直积态中直接加入然后转换完毕便可取走,很像化学反应中的催化剂 ,因此可称
|
c
⟩
{\displaystyle |c\rangle }
是催化态。
2007年塔库(Turgut)证明了定理[ 3]
[ 4]
[ 5]
[ 6]
^ M. A. Nielsen, Phys. Rev. Lett. 83 , 436 - 439 (1999)
^ D. Jonathan and M. B. Plenio, Phys. Rev. Lett. 83 , 3566 (1999)
^ S. Turgut, J. Phys. A: Math. Theor. 40 , 12185 (2007)
^ J. Cui, M. Gu, et al. Quantum phases with differing computational power. Nat. Commun. 3 , 812 (2012) (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 ).
^ F. Franchini, J. Cui, . Amico, H. Fan, M. Gu, V. Korepin, L. C. Kwek, and V. Vedral, Local Convertibility and the Quantum Simulation of Edge States in Many-Body Systems, Phys. Rev. X 4 , 041028 (2014)
^ Y.-C. Tzeng, L. Dai, et al. Entanglement convertibility by sweeping through the quantum phases of the alternating bonds XXZ chain. Sci. Rep. 6 , 26453 (2016) (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 ).