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重要性採樣

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重要性採樣(英語:importance sampling)是統計學中估計某一分布性質時使用的一種方法。該方法從與原分布不同的另一個分布中採樣,而對原先分布的性質進行估計。重要性採樣與計算物理學中的傘形採樣英語Umbrella sampling相關。

原理

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假設概率空間上的一個隨機變量。我們想要估計X期望值,記作E[X;P]。如果根據P隨機抽取樣本,估計的期望值即

這一估計的精確度取決於X的方差,

而重要性採樣的基本思想則是從另一個分布中抽取樣本,用以降低E[X;P]估計的方差。進行重要性採樣時,首先選擇一個隨機變量,使得E[L;P]=1,並滿足P幾乎處處。由此,可以定義新的概率

於是,我們可以從P(L)上抽樣,通過變量X/L估計E[X;P]。如果成立,此時的估計便優於直接在原分布上採樣得到的估計。

X在Ω上不變號時,最優的L。此時X/L*即為要估計的E[X;P],只需一個樣本便可得到該值。然而由於L*與要估計的E[X;P]有關,在實際操作中我們無法取到理論上最優的L*。不過,我們仍可以採用如下方式逼近該理論值:

於是,要估計的期望值可改寫為:

注意到,更優(即讓估計值方差更小)的P(L)會使得樣本分布的頻率與其在E[X;P]計算中的權重更加相關。這也是該方法得名「重要性採樣」的原因。

重要性採樣常用於蒙特卡洛積分。當均勻分布時,E[X;P]即為實函數的積分。

參考文獻

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