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重要性采样

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重要性采样(英语:importance sampling)是统计学中估计某一分布性质时使用的一种方法。该方法从与原分布不同的另一个分布中采样,而对原先分布的性质进行估计。重要性采样与计算物理学中的伞形采样英语Umbrella sampling相关。

原理

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假设概率空间上的一个随机变量。我们想要估计X期望值,记作E[X;P]。如果根据P随机抽取样本,估计的期望值即

这一估计的精确度取决于X的方差,

而重要性采样的基本思想则是从另一个分布中抽取样本,用以降低E[X;P]估计的方差。进行重要性采样时,首先选择一个随机变量,使得E[L;P]=1,并满足P几乎处处。由此,可以定义新的概率

于是,我们可以从P(L)上抽样,通过变量X/L估计E[X;P]。如果成立,此时的估计便优于直接在原分布上采样得到的估计。

X在Ω上不变号时,最优的L。此时X/L*即为要估计的E[X;P],只需一个样本便可得到该值。然而由于L*与要估计的E[X;P]有关,在实际操作中我们无法取到理论上最优的L*。不过,我们仍可以采用如下方式逼近该理论值:

于是,要估计的期望值可改写为:

注意到,更优(即让估计值方差更小)的P(L)会使得样本分布的频率与其在E[X;P]计算中的权重更加相关。这也是该方法得名“重要性采样”的原因。

重要性采样常用于蒙特卡洛积分。当均匀分布时,E[X;P]即为实函数的积分。

参考文献

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