在數學中,嘉當矩陣是由法國數學家埃利·嘉當引入的一類特別矩陣,最大的應用在於李代數的分類理論。在有限維代數的表示理論中,嘉當矩陣另有其它意義。
所謂廣義嘉當矩陣是具有下述性質的方陣
:
- 各項皆為整數:
。
- 對角線上的項等於二:
。
- 非對角線項非正:
![{\displaystyle i\neq j\Rightarrow a_{ij}\leq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63418909e047ba7d427afe27e48426ad721e9773)
。
- 存在正對角方陣
使
可以寫成
,其中
是對稱方陣。
第四個條件可由第一及第五個條件導出。在第五個條件中,若可取
為正定,則稱
為嘉當矩陣。
若兩個嘉當矩陣差一個排列矩陣的共軛:
,則稱兩者同構。若一嘉當矩陣同構於分塊對角的嘉當矩陣,則稱之為可化的,反之則稱為不可化。
由半單李代數可以得到根系,對應的廣義嘉當矩陣定義為
![{\displaystyle a_{ij}={2(r_{i},r_{j}) \over (r_{i},r_{i})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d6f6ef0fca9249142b7e02481fb11a4a0262c29)
其中
是選定的單根。單李代數對應於不可化嘉當矩陣。
不可化嘉當矩陣可透過連通丹金圖分類。具體方式是取
個頂點(n 為嘉當矩陣
的階數),將頂點
以
條邊相連。定義每個頂點的權
使得
,若兩個相鄰頂點
的權不同,則規定邊從權大者指向小者。這套模式類似於從根系定義丹金圖的手法。
對於域
上的有限維結合代數
,考慮不可約、
-有限維左
-模
,對每個
,存在唯一的不可分解左射影模
(至多差一個同構),使得
。取
為
在
的合成列中作為合成因子的重數。方陣
稱為
的嘉當矩陣。