在数学中,嘉当矩阵是由法国数学家埃利·嘉当引入的一类特别矩阵,最大的应用在于李代数的分类理论。在有限维代数的表示理论中,嘉当矩阵另有其它意义。
所谓广义嘉当矩阵是具有下述性质的方阵
:
- 各项皆为整数:
。
- 对角线上的项等于二:
。
- 非对角线项非正:
![{\displaystyle i\neq j\Rightarrow a_{ij}\leq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63418909e047ba7d427afe27e48426ad721e9773)
。
- 存在正对角方阵
使
可以写成
,其中
是对称方阵。
第四个条件可由第一及第五个条件导出。在第五个条件中,若可取
为正定,则称
为嘉当矩阵。
若两个嘉当矩阵差一个排列矩阵的共轭:
,则称两者同构。若一嘉当矩阵同构于分块对角的嘉当矩阵,则称之为可化的,反之则称为不可化。
由半单李代数可以得到根系,对应的广义嘉当矩阵定义为
![{\displaystyle a_{ij}={2(r_{i},r_{j}) \over (r_{i},r_{i})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d6f6ef0fca9249142b7e02481fb11a4a0262c29)
其中
是选定的单根。单李代数对应于不可化嘉当矩阵。
不可化嘉当矩阵可透过连通丹金图分类。具体方式是取
个顶点(n 为嘉当矩阵
的阶数),将顶点
以
条边相连。定义每个顶点的权
使得
,若两个相邻顶点
的权不同,则规定边从权大者指向小者。这套模式类似于从根系定义丹金图的手法。
对于域
上的有限维结合代数
,考虑不可约、
-有限维左
-模
,对每个
,存在唯一的不可分解左射影模
(至多差一个同构),使得
。取
为
在
的合成列中作为合成因子的重数。方阵
称为
的嘉当矩阵。