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豪斯多夫距离

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豪斯多夫距离量度度量空间子集之间的距离。

定义

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XY是度量空间M的两个紧子集。那么豪斯多夫距离dH(X,Y)是最小的数r使得X的闭r—邻域包含YY的闭r—邻域也包含X。换句话说,若d(x, y)M中的距离,那么

这距离函数令M的所有紧子集组成的集成为度量空间,且记为F(M)。F(M)的拓扑只是依赖于M的拓扑。若M是紧的,则F(M)也是。

豪斯多夫空间也可以照样定义在M非紧子集上,但距离可能是无限大,F(M)的拓扑不只依赖于M的拓扑,也依赖于M的特有度量。非闭子集间的豪斯多夫距离可以定义为它们的闭包的豪斯多夫距离。这给予M的所有子集组成的集一个伪度量。(两个有相同闭包的子集的豪斯多夫距离是零)。

在欧几里得几何常用一个类似概念,称为等距同构下的豪斯多夫距离。设XY是欧几里得空间中两个紧的图形,则DH(X,Y)是dH(I(X),Y)取所有欧几里得空间的保距变换I的最小值。这距离量度XY离等距差多少。

引用

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  • Munkres, James; Topology, Prentice Hall; 2nd edition (December 28, 1999). ISBN 0131816292.