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郝斯多夫距離

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郝斯多夫距離量度度量空間子集之間的距離。

定義

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XY是度量空間M的兩個緊子集。那麼郝斯多夫距離dH(X,Y)是最小的數r使得X的閉r—鄰域包含YY的閉r—鄰域也包含X。換句話說,若d(x, y)M中的距離,那麼

這距離函數令M的所有緊子集組成的集成為度量空間,且記為F(M)。F(M)的拓撲只是依賴於M的拓撲。若M是緊的,則F(M)也是。

郝斯多夫空間也可以照樣定義在M非緊子集上,但距離可能是無限大,F(M)的拓撲不只依賴於M的拓撲,也依賴於M的特有度量。非閉子集間的郝斯多夫距離可以定義為它們的閉包的郝斯多夫距離。這給予M的所有子集組成的集一個偽度量。(兩個有相同閉包的子集的郝斯多夫距離是零)。

在歐幾里得幾何常用一個類似概念,稱為等距同構下的郝斯多夫距離。設XY是歐幾里得空間中兩個緊的圖形,則DH(X,Y)是dH(I(X),Y)取所有歐幾里得空間的保距轉換I的最小值。這距離量度XY離等距差多少。

引用

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  • Munkres, James; Topology, Prentice Hall; 2nd edition (December 28, 1999). ISBN 0131816292.