泊松李群 (Poisson-Lie group) 是一种几何结构,也是李群和泊松流形,而且两种结构自洽。它的李群直积
是泊松映射。它是经典力学和泊松几何学的有力的例子,也是表示论研究对象之一。 它在无穷小尺度的形式就是李双代数。
泊松-李群是一个具有泊松括号的李群
,其群乘法定义为
,其中
为泊松映射,其中流形
赋予了乘积泊松流形的结构。
对于泊松李群,以下等式恒成立:
其中约定
是定义在泊松李群上的实数值的光滑函数,
为群中任意的元素,
为元素的左乘,
为元素的右乘。
记
为泊松李群
对应的泊松双向量(Poisson bivector),上述恒等式有等价形式:
特别的,如果取
, 以上等式即为
。对单位元
使用韦恩斯坦分裂定理 (页面存档备份,存于互联网档案馆)(Weinstein splitting theorem),可得知非平凡的泊松李群一定不具有辛结构,甚至不具有恒定的秩。