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調和共軛

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在數學中,調和共軛(Harmonic conjugate)是針對函數的概念。定義在開集中的函數,另一個函數為其共軛函數的充分必要條件是需要是全純函數)的實部及虛部。

因此,若中為全純函數,就為的共軛函數。而也是中的調和函數的共軛函數,若且唯若的共軛函數。

區間內,共軛函數的充分必要條件是滿足柯西-黎曼方程

    
    

舉例

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例如,考慮函數

因為 會滿足 拉普拉斯算子),因此是調和函數。現在假設存在,可以滿足柯西-黎曼方程:

and

化簡後可得 因此可得

uv的關係對調,函數就不是調和共軛函數了,因為柯西-黎曼方程中的負號,讓此關係是非對稱的關係。

參考資料

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  • Brown, James Ward; Churchill, Ruel V. Complex variables and applications 6th. New York: McGraw-Hill. 1996: 61. ISBN 0-07-912147-0. If two given functions u and v are harmonic in a domain D and their first-order partial derivatives satisfy the Cauchy-Riemann equations (2) throughout D, v is said to be a harmonic conjugate of u. 

外部連結

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