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调和共轭

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在数学中,调和共轭(Harmonic conjugate)是针对函数的概念。定义在开集中的函数,另一个函数为其共轭函数的充分必要条件是需要是全纯函数)的实部及虚部。

因此,若中为全纯函数,就为的共轭函数。而也是中的调和函数的共轭函数,当且仅当的共轭函数。

区间内,共轭函数的充分必要条件是满足柯西-黎曼方程

    
    

举例

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例如,考虑函数

因为 会满足 拉普拉斯算子),因此是调和函数。现在假设存在,可以满足柯西-黎曼方程:

and

化简后可得 因此可得

uv的关系对调,函数就不是调和共轭函数了,因为柯西-黎曼方程中的负号,让此关系是非对称的关系。

参考资料

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  • Brown, James Ward; Churchill, Ruel V. Complex variables and applications 6th. New York: McGraw-Hill. 1996: 61. ISBN 0-07-912147-0. If two given functions u and v are harmonic in a domain D and their first-order partial derivatives satisfy the Cauchy-Riemann equations (2) throughout D, v is said to be a harmonic conjugate of u. 

外部链接

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