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柯西-施瓦茨不等式

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柯西-施瓦茨不等式(英語:Cauchy–Schwarz inequality),又稱施瓦茨不等式柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式柯西不等式,在多個數學領域中均有應用的不等式;例如線性代數向量數學分析無窮級數和乘積的積分,和概率論方差協方差。它被認為是最重要的數學不等式之一。它有一些推廣,如赫爾德不等式

不等式以奧古斯丁·路易·柯西(Augustin Louis Cauchy),赫爾曼·阿曼杜斯·施瓦茨(Hermann Amandus Schwarz),和維克托·雅科夫列維奇·布尼亞科夫斯基英語Viktor_Bunyakovsky(Виктор Яковлевич Буняковский)命名。

敘述

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是個複內積空間,則對所有的 有:

(a)
(b) 存在 使

證明請見內積空間#範數

特例

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Rn-n維歐幾里得空間

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歐幾里得空間Rn,有

等式成立時:

也可以表示成

證明則須考慮一個關於的一個一元二次方程式

很明顯的,此方程式無實數或有重根,故其判別式

注意到

而等號成立於判別式

也就是此時方程式有重根,故

這兩例可更一般化赫爾德不等式

這是
n=3 時的特殊情況。

L2

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對於平方可積複值函數的內積空間,有如下不等式:

赫爾德不等式是該式的推廣。

矩陣不等式

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列向量,則[a]

時不等式成立,設非零,,則
等號成立線性相關

Hermite陣,且,則

存在,設
等號成立線性相關

Hermite陣,且,則

存在,設
等號成立線性相關[1]

,則[2]

複變函數中的柯西不等式

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在區域及其邊界上解析,內一點,以為圓心做圓周 ,只要及其內部均被包含,則有:

其中,M是的最大值,

其它推廣

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參見

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註釋

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  1. ^ 表示x的共軛轉置

參考資料

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  1. ^ 王松桂. 矩阵不等式-(第二版). 
  2. ^ 程偉麗 齊靜. Cauchy不等式矩阵形式的推广. 鄭州輕工業學院學報(自然科學版). 2008, (4) [2015-03-24]. (原始內容存檔於2019-06-08). 
  3. ^ 趙明方. Cauchy不等式的推广. 四川師範大學學報(自然科學版). 1981, (2) [2015-03-24]. (原始內容存檔於2019-06-03). 
  4. ^ 洪勇. 推广的Cauchy不等式的再推广. 曲靖師範學院學報. 1993, (S1) [2015-03-24]. (原始內容存檔於2019-06-03).