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柯西-施瓦茨不等式

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柯西-施瓦茨不等式(英语:Cauchy–Schwarz inequality),又称施瓦茨不等式柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式柯西不等式,在多个数学领域中均有应用的不等式;例如线性代数矢量数学分析无穷级数和乘积的积分,和概率论方差协方差。它被认为是最重要的数学不等式之一。它有一些推广,如赫尔德不等式

不等式以奥古斯丁·路易·柯西(Augustin Louis Cauchy),赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨(Hermann Amandus Schwarz),和维克托·雅科夫列维奇·布尼亚科夫斯基英语Viktor_Bunyakovsky(Виктор Яковлевич Буняковский)命名。

叙述

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是个复内积空间,则对所有的 有:

(a)
(b) 存在 使

证明请见内积空间#范数

特例

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Rn-n维欧几里得空间

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欧几里得空间Rn,有

等式成立时:

也可以表示成

证明则须考虑一个关于的一个一元二次方程式

很明显的,此方程式无实数或有重根,故其判别式

注意到

而等号成立于判别式

也就是此时方程式有重根,故

这两例可更一般化赫尔德不等式

这是
n=3 时的特殊情况。

L2

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对于平方可积复值函数的内积空间,有如下不等式:

赫尔德不等式是该式的推广。

矩阵不等式

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列向量,则[a]

时不等式成立,设非零,,则
等号成立线性相关

Hermite阵,且,则

存在,设
等号成立线性相关

Hermite阵,且,则

存在,设
等号成立线性相关[1]

,则[2]

复变函数中的柯西不等式

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在区域及其边界上解析,内一点,以为圆心做圆周 ,只要及其内部均被包含,则有:

其中,M是的最大值,

其它推广

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[3]

[4]

参见

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注释

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  1. ^ 表示x的共轭转置

参考资料

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  1. ^ 王松桂. 矩阵不等式-(第二版). 
  2. ^ 程伟丽 齐静. Cauchy不等式矩阵形式的推广. 郑州轻工业学院学报(自然科学版). 2008, (4) [2015-03-24]. (原始内容存档于2019-06-08). 
  3. ^ 赵明方. Cauchy不等式的推广. 四川师范大学学报(自然科学版). 1981, (2) [2015-03-24]. (原始内容存档于2019-06-03). 
  4. ^ 洪勇. 推广的Cauchy不等式的再推广. 曲靖师范学院学报. 1993, (S1) [2015-03-24]. (原始内容存档于2019-06-03).