聯立方程式(英語:simultaneous equations)又稱方程組(system of equations),是兩個或兩個以上含有多個未知數的方程聯立得到的集。未知數的值稱為聯立方程式的根,求聯立方程式根的過程稱為解聯立方程式。一般在方程式的左邊加大括號標註。
解聯立方程式的方法大致上有畫圖法、代入法、消元法(包括高斯消元法)、矩陣法(包括克萊姆法則)等。
畫圖法就是把兩條方程式畫在圖上,兩線的交點就是解了。
如要解決以下聯立方程式︰
![{\displaystyle {\begin{cases}2x+y=8\\x+y=6\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcb71297744ea0ec9d4f2b1a0dd2fac218fc2c59)
首先要把要把它們畫在圖上︰
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綠色為 ,
紅色為 。
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兩線的交點是︰
![{\displaystyle (x,y)=(2,4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3ed9c97a74c00bbd635374bc1b5c00d7e42c1e5)
所以它的解為:
![{\displaystyle {\begin{cases}x=2\\y=4\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d0a2d129c696e8d72f3ce5132470f281bcf7b0a)
如要解決以下聯立方程式︰
![{\displaystyle {\begin{cases}2x+y=8\\x+y=6\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcb71297744ea0ec9d4f2b1a0dd2fac218fc2c59)
過程是︰
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然後把
代入到其中一條方程式裏︰
![{\displaystyle {\begin{aligned}y&=6-x\\&=6-(2)\\&=4\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae937e7daeed5680f7779cac505ab468fe8c9abe)
所以它的解為:
![{\displaystyle {\begin{cases}x=2\\y=4\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d0a2d129c696e8d72f3ce5132470f281bcf7b0a)
如要解決以下聯立方程式︰
![{\displaystyle {\begin{cases}2x+y=8\\x+y=6\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcb71297744ea0ec9d4f2b1a0dd2fac218fc2c59)
把兩個相減︰
![{\displaystyle {\begin{aligned}\ 2x+y=8\\{\underline {-)\ x+y=6}}\\({\text{subtract}})\ x=2\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e51fb157f5ed4775decca6328003bb834fbdb0c)
然後把
代入到其中一條方程式裏︰
![{\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=6&({\text{the second equation}})\\(2)+y&=6\\y&=6-2\\y&=4\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d0e5351080ebf42c5bb6c58d16490af2118f765)
所以它的解為:
![{\displaystyle {\begin{cases}x=2\\y=4\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d0a2d129c696e8d72f3ce5132470f281bcf7b0a)