波前集

在數學分析中，特別是微局部分析中，一個分佈 $f$ 的波前集 ${\text{WF}}(f)$ 在奇異支集 ${\text{singsupp}}(f)$ 的基礎上進一步刻畫了 $f$ 的奇異性。作為底空間餘切叢的一個錐子集，一個分佈的波前集不僅描述了這個分佈的奇異點，並且同時描述了在每一點這個分佈奇異的方向。「波前集」這個術語是由 拉爾斯·霍爾曼德爾在1970年左右引入的。實解析版本的波前集，定義在超函數上，稱為「奇異支集」或「奇異譜」，稍早由佐藤干夫引入。

定義

在歐式空間的一個區域 $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ 中，一個分佈 $u\in {\mathcal {D}}'(X)$ 在一個點 $x\in X$ 處的奇異纖維 $\Sigma _{x}(u)$，作為 $\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$的一個子集， 是在這一點所有奇異方向的余集。嚴格的定義用到傅里葉變換，$\xi \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$ 不屬於 $\Sigma _{x}(u)$ 若且唯若存在緊支集光滑函數 $\phi \in C_{0}^{\infty }(X)$ 以及 $\xi$ 的一個錐鄰域（在正實數乘法下不變） $\Gamma$ 使得 $\phi (x)\neq 0$，並且在 $\Gamma$ 中有如下估計：對於任意正整數 $N$，存在正常數 $C_{N}$ 使得

$|{\widehat {(\phi u)}}(\eta )|\leq C_{N}(1+|\eta |)^{-N}\;\;\;\forall \;\eta \in \Gamma .$

（我們經常將這個估計寫為$|{\widehat {\phi u}}(\eta )|=O(\langle \eta \rangle ^{-\infty })$。）

$f$ 的波前集 ${\text{WF}}(u)$ 定義為

${\text{WF}}(u)=\{(x,\xi )\in \mathbb {R} ^{n}\times (\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}):\xi \in \Sigma _{x}(u)\}.$

由下面波前集在坐標變化下的性質，可以定義光滑流形 $X$ 上的分佈 $f$ 的波前集 ${\text{WF}}(f)$ 為餘切叢去掉零截面 $T^{\ast }X\setminus 0$ 的一個錐子集。

如果 $B:C_{0}^{\infty }(X)\to {\mathcal {D}}'(Y)$有Schwarz核 $K_{B}\in {\mathcal {D}}'(Y\times X)$，定義

${\text{WF}}'(B)=\{(y,\eta ,x,\xi )\in T^{\ast }Y\times T^{\ast }X:(y,\eta ,x,-\xi )\in {\text{WF}}(K_{B}).$

對於擬微分算子 $A\in \Psi ^{m}(X)$， 可以驗證 ${\text{WF}}'(A)$ 包含於 $(T^{\ast }X\setminus 0)\times (T^{\ast }X\setminus 0)$ 的對角線 $\Delta (T^{\ast }X\setminus 0)=\{(x,\xi ,x,\xi ):(x,\xi )\in T^{\ast }X\setminus 0\}$中。並且如果我們定義 ${\text{WF}}(A)\subset T^{\ast }X\setminus 0$ 如下：$(x_{0},\xi _{0})\not \in {\text{WF}}(A)$ 若且唯若在$(x_{0},\xi _{0})$的一個錐鄰域中，$A$ 的象徵滿足估計

$\sigma (A)(x,\xi )=O(\langle \xi \rangle ^{-\infty })$

那麼我們有 $(x,\xi )\in {\text{WF}}(A)$ 若且唯若 $(x,\xi ,x,\xi )\in {\text{WF}}'(A)$。

等價定義

Hormander最早的定義用到了擬微分算子在分佈上的作用：${\text{WF}}(u)$ 是所有滿足如下性質的點 $(x,\xi )$在$T^{\ast }X\setminus 0$ 中的補集： 存在 $(x,\xi )$ 的錐鄰域 $\Gamma$ 使得對於任意的滿足 ${\text{WF}}(A)\subset \Gamma$ 的擬微分算子 $A\in \Psi ^{0}(X)$， 有 $Au\in C^{\infty }$。

另一個有用的等價定義用到FBI變換。

性質

（1） 如果記 $\pi :T^{\ast }X\setminus 0\to X$ 為餘切叢上自然投影，則 $\pi ({\text{WF}}(u))={\text{sing supp}}(u)$。

（2） 對於擬微分算子 $A\in \Psi ^{m}$， ${\text{WF}}(Au)\subset {\text{WF}}(A)\cap {\text{WF}}(u)$。特別的，我們有對於任意的光滑係數微分算子$a(x,D)$，${\text{WF}}(a(x,D)u)\subset {\text{WF}}(u)$。

（3） 如果 $f:X\to Y$ 是一個光滑映射，記 $N_{f}=\{(f(x);\eta )\in T^{\ast }Y,{}^{T}f(x)'\eta =0\}$ 為 $f$ 的法叢。如果 $u\in {\mathcal {D}}'(Y)$滿足 ${\text{WF}}(u)\cap N_{f}=\emptyset$，那麼我們可以「唯一的」定義 $u$ 在 $f$ 下的拉回 $f^{\ast }u\in {\mathcal {D}}'(X)$。並且我們有 ${\text{WF}}(f^{\ast }u)\subset f^{\ast }{\text{WF}}(u)$。 特別的，如果 $f$ 是一個微分同胚，${\text{WF}}(f^{\ast }u)=f^{\ast }{\text{WF}}(u)$。所以波前集定義在餘切叢上是不取決於坐標的。

（4）令 $B:C_{0}^{\infty }(X)\to {\mathcal {D}}'(Y)$ 如果將 ${\text{WF}}'(B)$ 視作從 $T^{\ast }X$ 到 $T^{\ast }Y$ 的一個關係，並且記 ${\text{WF}}'_{X}(B)=WF'(B)^{-1}(0_{Y}),\;\;{\text{WF}}'_{Y}(B)=WF'(B)(0_{X})$。這裏$0_{X}$和$0_{Y}$分別是$X$和$Y$上餘切叢的零截面。則如果 $u\in {\mathcal {D}}'(X)$滿足 ${\text{WF}}(u)\cap {\text{WF}}'_{X}(B)=\emptyset$，那麼我們可以「唯一的」定義$Bu\in {\mathcal {D}}'(Y)$。並且我們有 ${\text{WF}}(Bu)\subset {\text{WF}}'(B)({\text{WF}}(u))\cup {\text{WF}}'_{Y}(B)$。

（5）如果 $A:C_{0}^{\infty }(X)\to {\mathcal {D}}'(Y)$ 和 $B:C_{0}^{\infty }(Y)\to {\mathcal {D}}'(Z)$ 滿足 ${\text{WF}}'_{Y}(A)\cap {\text{WF}}'_{Y}(B)=\emptyset$，那麼我們可以「唯一的」定義複合算子 $B\circ A:C_{0}^{\infty }(X)\to {\mathcal {D}}'(Z)$。並且我們有

${\text{WF}}'(B\circ A)\subset ({\text{WF}}'_{Z}(B)\times (0_{X}))\cup (0_{Z}\times {\text{WF}}'_{X}(A))\cup ({\text{WF}}'(B)\circ {\text{WF}}'(A))$

這裏最後一項是將波前集視為關係下的複合。

推廣

以上所定義的波前集描述的是分佈的關於 $C^{\infty }$ 正則性的奇異性，類似的可以定義關於實解析性的波前集 ${\text{WF}}_{A}$，關於Gevery類 $G^{s}$ 的波前集，關於Sobolev空間 $H^{s}$ 的波前集等等。在使用FBI變換的定義中，這些波前集有一個很好的統一的描述。

參考來源

• Lars Hörmander, Fourier integral operators I, Acta Math. 127 (1971), pp. 79-183.
• Hörmander, Lars, The Analysis of Linear Partial Differential Equations I: Distribution Theory and Fourier Analysis, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256 2nd, Springer: 251–279, 1990, ISBN 0-387-52345-6  Chapter VIII, Spectral Analysis of Singularities