波前集

在数学分析中，特别是微局部分析中，一个分布 $f$ 的波前集 ${\text{WF}}(f)$ 在奇异支集 ${\text{singsupp}}(f)$ 的基础上进一步刻画了 $f$ 的奇异性。作为底空间余切丛的一个锥子集，一个分布的波前集不仅描述了这个分布的奇异点，并且同时描述了在每一点这个分布奇异的方向。“波前集”这个术语是由 拉尔斯·霍尔曼德尔在1970年左右引入的。实解析版本的波前集，定义在超函数上，称为“奇异支集”或“奇异谱”，稍早由佐藤干夫引入。

定义

在欧式空间的一个区域 $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ 中，一个分布 $u\in {\mathcal {D}}'(X)$ 在一个点 $x\in X$ 处的奇异纤维 $\Sigma _{x}(u)$，作为 $\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$的一个子集， 是在这一点所有奇异方向的余集。严格的定义用到傅里叶变换，$\xi \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$ 不属于 $\Sigma _{x}(u)$ 当且仅当存在紧支集光滑函数 $\phi \in C_{0}^{\infty }(X)$ 以及 $\xi$ 的一个锥邻域（在正实数乘法下不变） $\Gamma$ 使得 $\phi (x)\neq 0$，并且在 $\Gamma$ 中有如下估计：对于任意正整数 $N$，存在正常数 $C_{N}$ 使得

$|{\widehat {(\phi u)}}(\eta )|\leq C_{N}(1+|\eta |)^{-N}\;\;\;\forall \;\eta \in \Gamma .$

（我们经常将这个估计写为$|{\widehat {\phi u}}(\eta )|=O(\langle \eta \rangle ^{-\infty })$。）

$f$ 的波前集 ${\text{WF}}(u)$ 定义为

${\text{WF}}(u)=\{(x,\xi )\in \mathbb {R} ^{n}\times (\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}):\xi \in \Sigma _{x}(u)\}.$

由下面波前集在坐标变化下的性质，可以定义光滑流形 $X$ 上的分布 $f$ 的波前集 ${\text{WF}}(f)$ 为余切丛去掉零截面 $T^{\ast }X\setminus 0$ 的一个锥子集。

如果 $B:C_{0}^{\infty }(X)\to {\mathcal {D}}'(Y)$有Schwarz核 $K_{B}\in {\mathcal {D}}'(Y\times X)$，定义

${\text{WF}}'(B)=\{(y,\eta ,x,\xi )\in T^{\ast }Y\times T^{\ast }X:(y,\eta ,x,-\xi )\in {\text{WF}}(K_{B}).$

对于拟微分算子 $A\in \Psi ^{m}(X)$， 可以验证 ${\text{WF}}'(A)$ 包含于 $(T^{\ast }X\setminus 0)\times (T^{\ast }X\setminus 0)$ 的对角线 $\Delta (T^{\ast }X\setminus 0)=\{(x,\xi ,x,\xi ):(x,\xi )\in T^{\ast }X\setminus 0\}$中。并且如果我们定义 ${\text{WF}}(A)\subset T^{\ast }X\setminus 0$ 如下：$(x_{0},\xi _{0})\not \in {\text{WF}}(A)$ 当且仅当在$(x_{0},\xi _{0})$的一个锥邻域中，$A$ 的象征满足估计

$\sigma (A)(x,\xi )=O(\langle \xi \rangle ^{-\infty })$

那么我们有 $(x,\xi )\in {\text{WF}}(A)$ 当且仅当 $(x,\xi ,x,\xi )\in {\text{WF}}'(A)$。

等价定义

Hormander最早的定义用到了拟微分算子在分布上的作用：${\text{WF}}(u)$ 是所有满足如下性质的点 $(x,\xi )$在$T^{\ast }X\setminus 0$ 中的补集： 存在 $(x,\xi )$ 的锥邻域 $\Gamma$ 使得对于任意的满足 ${\text{WF}}(A)\subset \Gamma$ 的拟微分算子 $A\in \Psi ^{0}(X)$， 有 $Au\in C^{\infty }$。

另一个有用的等价定义用到FBI变换。

性质

（1） 如果记 $\pi :T^{\ast }X\setminus 0\to X$ 为余切丛上自然投影，则 $\pi ({\text{WF}}(u))={\text{sing supp}}(u)$。

（2） 对于拟微分算子 $A\in \Psi ^{m}$， ${\text{WF}}(Au)\subset {\text{WF}}(A)\cap {\text{WF}}(u)$。特别的，我们有对于任意的光滑系数微分算子$a(x,D)$，${\text{WF}}(a(x,D)u)\subset {\text{WF}}(u)$。

（3） 如果 $f:X\to Y$ 是一个光滑映射，记 $N_{f}=\{(f(x);\eta )\in T^{\ast }Y,{}^{T}f(x)'\eta =0\}$ 为 $f$ 的法丛。如果 $u\in {\mathcal {D}}'(Y)$满足 ${\text{WF}}(u)\cap N_{f}=\emptyset$，那么我们可以“唯一的”定义 $u$ 在 $f$ 下的拉回 $f^{\ast }u\in {\mathcal {D}}'(X)$。并且我们有 ${\text{WF}}(f^{\ast }u)\subset f^{\ast }{\text{WF}}(u)$。 特别的，如果 $f$ 是一个微分同胚，${\text{WF}}(f^{\ast }u)=f^{\ast }{\text{WF}}(u)$。所以波前集定义在余切丛上是不取决于坐标的。

（4）令 $B:C_{0}^{\infty }(X)\to {\mathcal {D}}'(Y)$ 如果将 ${\text{WF}}'(B)$ 视作从 $T^{\ast }X$ 到 $T^{\ast }Y$ 的一个关系，并且记 ${\text{WF}}'_{X}(B)=WF'(B)^{-1}(0_{Y}),\;\;{\text{WF}}'_{Y}(B)=WF'(B)(0_{X})$。这里$0_{X}$和$0_{Y}$分别是$X$和$Y$上余切丛的零截面。则如果 $u\in {\mathcal {D}}'(X)$满足 ${\text{WF}}(u)\cap {\text{WF}}'_{X}(B)=\emptyset$，那么我们可以“唯一的”定义$Bu\in {\mathcal {D}}'(Y)$。并且我们有 ${\text{WF}}(Bu)\subset {\text{WF}}'(B)({\text{WF}}(u))\cup {\text{WF}}'_{Y}(B)$。

（5）如果 $A:C_{0}^{\infty }(X)\to {\mathcal {D}}'(Y)$ 和 $B:C_{0}^{\infty }(Y)\to {\mathcal {D}}'(Z)$ 满足 ${\text{WF}}'_{Y}(A)\cap {\text{WF}}'_{Y}(B)=\emptyset$，那么我们可以“唯一的”定义复合算子 $B\circ A:C_{0}^{\infty }(X)\to {\mathcal {D}}'(Z)$。并且我们有

${\text{WF}}'(B\circ A)\subset ({\text{WF}}'_{Z}(B)\times (0_{X}))\cup (0_{Z}\times {\text{WF}}'_{X}(A))\cup ({\text{WF}}'(B)\circ {\text{WF}}'(A))$

这里最后一项是将波前集视为关系下的复合。

推广

以上所定义的波前集描述的是分布的关于 $C^{\infty }$ 正则性的奇异性，类似的可以定义关于实解析性的波前集 ${\text{WF}}_{A}$，关于Gevery类 $G^{s}$ 的波前集，关于Sobolev空间 $H^{s}$ 的波前集等等。在使用FBI变换的定义中，这些波前集有一个很好的统一的描述。

参考来源

• Lars Hörmander, Fourier integral operators I, Acta Math. 127 (1971), pp. 79-183.
• Hörmander, Lars, The Analysis of Linear Partial Differential Equations I: Distribution Theory and Fourier Analysis, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256 2nd, Springer: 251–279, 1990, ISBN 0-387-52345-6  Chapter VIII, Spectral Analysis of Singularities