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二元運算

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二元運算是種數學運算,它的運算結果跟兩個輸入值必須是同種東西,即元數為2的運算。比如說,兩個整數的加法是二元運算,因整數相加以後仍然是整數。

定義

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二元運算的定義 — 一個集合 上的二元運算是一個定義域是 對應域 函數

如果從集合 對自己的笛卡兒積 (也就是 )取出的任意 ,都會對應 的某個值 ,那對應規則 的本身就被稱為二元運算。

通常寫為 ,而且比起使用字母,二元運算時常以某種運算符表示,來跟普通的函數作區別。

事實上 這個記號本身就保證了:「只要 就會有 」,這個性質也稱為(二元)運算封閉性

常用性質和術語

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關於二元運算有很多常見的性質和術語,列舉如下:

是集合 上的二元運算,,則:

  • 為一個 左單位元,若 滿足:
  • 為一個 右單位元,若 滿足:
  • 單位元,若 既是左單位元、又是右單位元。

是集合 上帶有單位元 的二元運算, 。則:

  • 是一個 左反元素,若 滿足:
  • 是一個 右反元素,若 滿足:
  • 反元素,若 既是 左反元素、又是 右反元素。這種情況下 常被寫作

是集合 上的二元運算, ,則:

  • 為一個左零元素,若 滿足:
  • 為一個右零元素,若 滿足:
  • 零元素,若 既是左零元素、又是右零元素。

是集合 上的帶有零元素 的二元運算, 。則:

  • 是一個左零因子,若 滿足: ,使得
  • 是一個右零因子,若 滿足: ,使得
  • 是一個零因子,若 既是左零因子、又是右零因子。

是集合 上的二元運算,則: 稱 滿足交換律,若:

是集合 上的二元運算,則: 稱 滿足結合律,若:

: 是集合上的二元運算,則:

滿足左消去律,若滿足:

滿足右消去律,若滿足:

滿足消去律,若同時滿足左消去律與右消去律。

: 是集合上的二元運算,則: 稱滿足冪等律,若滿足:

冪么律

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: 是集合上的二元運算,i是下的單位元, 則:稱滿足冪么律,若滿足:(顯然此時每個元素都是它自己的反元素);

冪零律

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: 是集合上的二元運算,z是下的零元素, 則:稱滿足冪零律,若滿足:,有(顯然此時每個元素都是零元素,而且既是左零元素又是右零元素);

: : 是集合上的兩個二元運算,則:

  • 滿足左分配律,若 滿足:,有
  • 滿足右分配律,若 滿足:,有
  • 滿足分配律,若 同時滿足左分配律和右分配律。