整数,在电脑应用上也称为整型,是序列
中所有的数的统称,包括负整数、零(0)与正整数。和自然数一样,整数也是一个可数的无限集合。这个集合在数学上通常表示粗体
或
,源于德语单词Zahlen(意为“数”)的首字母。
在代数数论中,这些属于有理数的一般整数会被称为有理整数,用以和高斯整数等的概念加以区分。
正整数与负整数[编辑]
整数是一个集合,通常可以分为正整数、零(0)和负整数。正整数(符号:Z+或
)即大于0的整数,是正数与整数的交集。而负整数(符号:
或
)即小于0的整数,是负数与整数的交集。和整数一样,两者都是可数的无限集合。除正整数和负整数外,通常将0与正整数统称为非负整数(符号:Z+0或
),而将0与负整数统称为非正整数(符号:Z-0或
)。在数论中自然数
通常被视为与正整数等同,即1,2,3等,但在集合论和计算机科学中自然数则通常是指非负整数,即0,1,2等。
下表给出任何整数
的加法和乘法的基本性质。
性质 |
加法 |
乘法
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封闭性
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是整数 |
是整数
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结合律
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![{\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44038eb287a7d11c82ecf1642362bff63a012b2f) |
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交换律
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![{\displaystyle a+b=b+a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/684f43b5094501674e8314be5e24a80ee64682e3) |
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存在单位元
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![{\displaystyle a+0=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4564e28f0f8274644ca4e58664c0593ed48de541) |
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存在逆元
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![{\displaystyle a+(-a)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bee04ca35f37fa95ee387e42959af9038fb8251) |
在整数集中,只有1或-1对于乘法存在整数逆元,其余整数 关于乘法的逆元为 ,都不为整数。
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分配律
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全体整数关于加法和乘法形成一个环。环论中的整环、无零因子环和唯一分解域可以看作是整数的抽象化模型。
是一个加法循环群,因为任何整数都是若干个1或-1的和。1和-1是
仅有的两个生成元。每个元素个数为无穷个的循环群都与
同构。
有序性质[编辑]
是一个全序集,没有上界和下界,其序列如下:
![{\displaystyle \ldots <-2<-1<0<1<2<\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8482a11eaa12b3cc3d4aa07890acb595563dd8d1)
一个整数大于零则为正,小于零则为负。零既非正也非负。
整数的序列在代数运算下是可以比较的,表示如下:
- 若
且
,则
(加法)
- 若
且
,则
;若
,则
(乘法)
整数环是一个欧几里德域。
的基数[编辑]
的基数(或势)是ℵ0,与
相同。这可以从
建立一双射函数到
来证明,亦即该函数要同时满足单射及满射的条件,例如:
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}2x+1,&{\mbox{if }}x\geq 0\\2|x|,&{\mbox{if }}x<0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6025ceab390ffb7b3f31f16aa3632411e019b59)
当该函数的定义域仅限于
,则证明
与
可建立一一对应的关系,即两集等势。
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| 可数集 |
- 自然数 (
)
- 整数 (
)
- 有理数 (
)
- 规矩数
- 代数数 (
)
- 周期
- 可计算数
- 可定义数
- 高斯整数 (
)
- 艾森斯坦整数
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| 合成代数 |
- 可除代数:实数 (
)
- 复数 (
)
- 四元数 (
)
- 八元数 (
)
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| 凯莱-迪克森结构 |
- 实数 (
)
- 复数 (
)
- 四元数 (
)
- 八元数 (
)
- 十六元数 (
)
- 三十二元数
- 六十四元数
- 一百二十八元数
- 二百五十六元数……
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| 分裂 形式 | |
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| 其他超复数 | |
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| 其他系统 | |
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