殼層定理(Shell Theorem)是古典重力學上的理論,其可簡化重力於對稱球體內部和外部的貢獻,並且在天文學上有特別的應用。
殼層定理最先由牛頓在所推演出來[1],其闡明了
- 球對稱物體對於球體外的重力貢獻如同將球體質量集中於球心。
- 在對稱球體內部的物體不受其外部球殼的重力影響。
由殼層定理的結果亦可得知,在一質量均勻分布的球體,重力由表面至中心線性遞減至零。因為球殼不會對內部物體有重力之貢獻,而剩餘之質量(不包括球殼)是與r3成正比,而重力是正比於m/r2,因此重力與r3/r2 = r成正比。
在星體運動的分析中,殼層定理是非常重要的,因為其隱含地表示可將星體視為一個質點來計算。除了重力之外,殼層定理亦可描述均勻帶電球體所貢獻的電場,或者是其他平方反比定律的物理現象。
一個均勻實心的球體可視為由無限多個極薄的球殼所組成,而每個球殼均視為一個質點,所以先考慮以下灰色環狀區域:
Shell-diag-1
其中dθ是微分角度,非弧長。根據牛頓萬有引力定律,環狀區域對質點m的重力貢獻為[2]
![{\displaystyle dF_{r}={\frac {Gm\,dM}{s^{2}}}\cos \phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37ace04cbaa7f33fe7b65281c9d5f64a66a2f61f)
力的方向指向球心。將所有的dFr積分,即為質點m之所受重力
![{\displaystyle F_{r}=\int dF_{r}=Gm\int {\frac {dM}{s^{2}}}\cos \phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e43286c4d53bfa8adf6211575de6ad185c3a0fc)
接著,將dM表成與θ相關的函數。總球殼面積為
![{\displaystyle 4\pi R^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ebf047836476dc57dd8c3758e0fb2aeb950ef8d)
而灰色環狀區域的面積為
![{\displaystyle 2\pi R\sin \theta \cdot Rd\theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec4bd171c7fc31d6e74d3e95edd5cba8f197c2a6)
所以灰色環狀區域的質量dM可表為
![{\displaystyle dM={\frac {2\pi R^{2}\sin \theta }{4\pi R^{2}}}Md\theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fae2523464ca1cfc4f198244d714bc02a7de47a3)
因此
![{\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{2}}\int {\frac {\sin \theta \cos \phi }{s^{2}}}d\theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77caded7b441b0edfc60013a9d31450bc0105bcf)
由餘弦定理可知
![{\displaystyle \cos \phi ={\frac {r^{2}+s^{2}-R^{2}}{2rs}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd463313e67ae9b651ed08a828dafb287719eabd)
![{\displaystyle \cos \theta ={\frac {r^{2}+R^{2}-s^{2}}{2rR}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e874182c4c25e7555a1a4ab6ff0a36e27fe1e8a)
θ由0積分至π,φ由0增加到最大值再遞減至0,s由r - R變化至r + R。積分計算的過程如下圖所示。
Shell-diag-1-anim
對前述之餘弦定理給出的關係式第二式做隱微分計算可得
![{\displaystyle \sin \theta d\theta ={\frac {s}{rR}}ds.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65cfac875aad949f94420737110fdd66d9cd6508)
因此Fr可變數變換為
![{\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{2rR}}\int {\frac {\cos \phi }{s}}ds={\frac {GMm}{4r^{2}R}}\int _{r-R}^{r+R}\left(1+{\frac {r^{2}-R^{2}}{s^{2}}}\right)ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbbb59e4033686f1ed8fd57b4d234836e7f3649d)
所以
![{\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{4r^{2}R}}\left(s-{\frac {r^{2}-R^{2}}{s}}\right)_{r-R}^{r+R}={\frac {GMm}{r^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e8448d20fd012e1de8c9f1db3f36fa0a120ce6b)
即薄球殼貢獻之重力如同將所有質量集中於球心。
接著,將每一個薄球殼dM累加起來,即是實心球體對外部物體的重力貢獻
![{\displaystyle F_{total}=\int dF_{r}={\frac {Gm}{r^{2}}}\int dM.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecdc830ca7222ecca50db9b227501f35967fef05)
在距球心x到x + dx的球殼質量dM可寫為
![{\displaystyle dM={\frac {4\pi x^{2}dx}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}M={\frac {3Mx^{2}dx}{R^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f56fb3de30109a266b7afd0615841a3e53129b8)
因此
![{\displaystyle F_{total}={\frac {3GMm}{r^{2}R^{3}}}\int _{0}^{R}x^{2}dx={\frac {GMm}{r^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e691e4a00b8cc34172e585cfddc7ce790369ba56)
即實心球對外部物體的重力貢獻如同將所有質量集中於球心。
球內重力情形可直接由球外重力Fr改變s之積分上下界推得,即自R - r積分至R + r,各參數的示意圖如下所示。
Shell-diag-2
所以薄球殼對內部物體的重力貢獻為
![{\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{4r^{2}R}}\left(s-{\frac {r^{2}-R^{2}}{s}}\right)_{R-r}^{R+r}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc470cac48487297bba2a6575e3cea0269dd51da)
即球內物體不受外球殼(無論厚薄)的重力影響。
注意,這邊的計算係積分質點m外的球殼(即R > r),當R < r,即回到球體之外的重力情況。
若質點m在實心球內,只有半徑小於r的那部分球體質量對質點m有淨力作用,半徑大於r的那部分球殼對m產生的重力場為0。小於 r 那部分球體的質量為
![{\displaystyle M_{r}={\frac {r^{3}}{R^{3}}}M.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4afacd680d825a7a3f238727007450ea3751cc62)
距離球心r處的重力場為
![{\displaystyle g={\frac {GM_{r}}{r^{2}}}={\frac {GMr}{R^{3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4812833791348f3e3345067973405e91d5458980)
質點m受到這個實心球體產生的重力為
![{\displaystyle F={\frac {GMmr}{R^{3}}}=kr.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9813287c2a9629c7a621d5526eb7d01eb3565ff3)
k是一個常數,
。
推廣:假設質點重力的形式為
,那麼球殼內的重力為
![{\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{4r^{2}R}}\int _{R-r}^{R+r}\left({\frac {1}{s^{p-2}}}+{\frac {r^{2}-R^{2}}{s^{p}}}\right)ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/446197afc2ef217c3d8d32c7e1deeabe1201cb9e)
上式只有當
時,Fr才會等於0。
同樣地,在球殼外的重力為
![{\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{4r^{2}R}}\int _{r-R}^{r+R}\left({\frac {1}{s^{p-2}}}+{\frac {r^{2}-R^{2}}{s^{p}}}\right)ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3470f23099aa7a7e6c079abb383302cda5dc6e8c)
- ^ Newton, Isaac (1687). Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. London. pp. Theorem XXXI.
- ^ Raymond A. Serway and John W. Jewett (2007), Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics.