壳层定理(Shell Theorem)是古典重力学上的理论,其可简化重力于对称球体内部和外部的贡献,并且在天文学上有特别的应用。
壳层定理最先由牛顿在所推演出来[1],其阐明了
- 球对称物体对于球体外的重力贡献如同将球体质量集中于球心。
- 在对称球体内部的物体不受其外部球壳的重力影响。
由壳层定理的结果亦可得知,在一质量均匀分布的球体,重力由表面至中心线性递减至零。因为球壳不会对内部物体有重力之贡献,而剩馀之质量(不包括球壳)是与r3成正比,而重力是正比于m/r2,因此重力与r3/r2 = r成正比。
在星体运动的分析中,壳层定理是非常重要的,因为其隐含地表示可将星体视为一个质点来计算。除了重力之外,壳层定理亦可描述均匀带电球体所贡献的电场,或者是其他平方反比定律的物理现象。
一个均匀实心的球体可视为由无限多个极薄的球壳所组成,而每个球壳均视为一个质点,所以先考虑以下灰色环状区域:
Shell-diag-1
其中dθ是微分角度,非弧长。根据牛顿万有引力定律,环状区域对质点m的重力贡献为[2]
![{\displaystyle dF_{r}={\frac {Gm\,dM}{s^{2}}}\cos \phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37ace04cbaa7f33fe7b65281c9d5f64a66a2f61f)
力的方向指向球心。将所有的dFr积分,即为质点m之所受重力
![{\displaystyle F_{r}=\int dF_{r}=Gm\int {\frac {dM}{s^{2}}}\cos \phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e43286c4d53bfa8adf6211575de6ad185c3a0fc)
接著,将dM表成与θ相关的函数。总球壳面积为
![{\displaystyle 4\pi R^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ebf047836476dc57dd8c3758e0fb2aeb950ef8d)
而灰色环状区域的面积为
![{\displaystyle 2\pi R\sin \theta \cdot Rd\theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec4bd171c7fc31d6e74d3e95edd5cba8f197c2a6)
所以灰色环状区域的质量dM可表为
![{\displaystyle dM={\frac {2\pi R^{2}\sin \theta }{4\pi R^{2}}}Md\theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fae2523464ca1cfc4f198244d714bc02a7de47a3)
因此
![{\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{2}}\int {\frac {\sin \theta \cos \phi }{s^{2}}}d\theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77caded7b441b0edfc60013a9d31450bc0105bcf)
由馀弦定理可知
![{\displaystyle \cos \phi ={\frac {r^{2}+s^{2}-R^{2}}{2rs}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd463313e67ae9b651ed08a828dafb287719eabd)
![{\displaystyle \cos \theta ={\frac {r^{2}+R^{2}-s^{2}}{2rR}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e874182c4c25e7555a1a4ab6ff0a36e27fe1e8a)
θ由0积分至π,φ由0增加到最大值再递减至0,s由r - R变化至r + R。积分计算的过程如下图所示。
Shell-diag-1-anim
对前述之馀弦定理给出的关系式第二式做隐微分计算可得
![{\displaystyle \sin \theta d\theta ={\frac {s}{rR}}ds.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65cfac875aad949f94420737110fdd66d9cd6508)
因此Fr可变数变换为
![{\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{2rR}}\int {\frac {\cos \phi }{s}}ds={\frac {GMm}{4r^{2}R}}\int _{r-R}^{r+R}\left(1+{\frac {r^{2}-R^{2}}{s^{2}}}\right)ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbbb59e4033686f1ed8fd57b4d234836e7f3649d)
所以
![{\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{4r^{2}R}}\left(s-{\frac {r^{2}-R^{2}}{s}}\right)_{r-R}^{r+R}={\frac {GMm}{r^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e8448d20fd012e1de8c9f1db3f36fa0a120ce6b)
即薄球壳贡献之重力如同将所有质量集中于球心。
接著,将每一个薄球壳dM累加起来,即是实心球体对外部物体的重力贡献
![{\displaystyle F_{total}=\int dF_{r}={\frac {Gm}{r^{2}}}\int dM.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecdc830ca7222ecca50db9b227501f35967fef05)
在距球心x到x + dx的球壳质量dM可写为
![{\displaystyle dM={\frac {4\pi x^{2}dx}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}M={\frac {3Mx^{2}dx}{R^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f56fb3de30109a266b7afd0615841a3e53129b8)
因此
![{\displaystyle F_{total}={\frac {3GMm}{r^{2}R^{3}}}\int _{0}^{R}x^{2}dx={\frac {GMm}{r^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e691e4a00b8cc34172e585cfddc7ce790369ba56)
即实心球对外部物体的重力贡献如同将所有质量集中于球心。
球内重力情形可直接由球外重力Fr改变s之积分上下界推得,即自R - r积分至R + r,各参数的示意图如下所示。
Shell-diag-2
所以薄球壳对内部物体的重力贡献为
![{\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{4r^{2}R}}\left(s-{\frac {r^{2}-R^{2}}{s}}\right)_{R-r}^{R+r}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc470cac48487297bba2a6575e3cea0269dd51da)
即球内物体不受外球壳(无论厚薄)的重力影响。
注意,这边的计算系积分质点m外的球壳(即R > r),当R < r,即回到球体之外的重力情况。
若质点m在实心球内,只有半径小于r的那部分球体质量对质点m有净力作用,半径大于r的那部分球壳对m产生的重力场为0。小于 r 那部分球体的质量为
![{\displaystyle M_{r}={\frac {r^{3}}{R^{3}}}M.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4afacd680d825a7a3f238727007450ea3751cc62)
距离球心r处的重力场为
![{\displaystyle g={\frac {GM_{r}}{r^{2}}}={\frac {GMr}{R^{3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4812833791348f3e3345067973405e91d5458980)
质点m受到这个实心球体产生的重力为
![{\displaystyle F={\frac {GMmr}{R^{3}}}=kr.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9813287c2a9629c7a621d5526eb7d01eb3565ff3)
k是一个常数,
。
推广:假设质点重力的形式为
,那么球壳内的重力为
![{\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{4r^{2}R}}\int _{R-r}^{R+r}\left({\frac {1}{s^{p-2}}}+{\frac {r^{2}-R^{2}}{s^{p}}}\right)ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/446197afc2ef217c3d8d32c7e1deeabe1201cb9e)
上式只有当
时,Fr才会等于0。
同样地,在球壳外的重力为
![{\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{4r^{2}R}}\int _{r-R}^{r+R}\left({\frac {1}{s^{p-2}}}+{\frac {r^{2}-R^{2}}{s^{p}}}\right)ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3470f23099aa7a7e6c079abb383302cda5dc6e8c)
- ^ Newton, Isaac (1687). Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. London. pp. Theorem XXXI.
- ^ Raymond A. Serway and John W. Jewett (2007), Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics.