斯蒂爾吉斯常數

斯蒂爾吉斯常數，記為$\gamma _{k}$，是出現在黎曼ζ函數的羅朗級數展開式中的數：

$\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}\;(s-1)^{n}$

斯蒂爾吉斯常數由以下的極限給出：

$\gamma _{n}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\left(\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {(\ln k)^{n}}{k}}\right)-{\frac {(\ln m)^{n+1}}{n+1}}\right)}$

還有一種積分表示法，可由柯西積分公式推出：

$\gamma _{n}={\frac {(-1)^{n}n!}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{-nix}\zeta \left(e^{ix}+1\right)dx.$

第零個常數$\gamma _{0}=\gamma =0.577...$稱為歐拉-馬歇羅尼常數。

最初的幾個值為：

n	γn
0	0.5772156649015328606065120900824024310421
1	-0.072815845483676724860586
2	-0.0096903631928723184845303
3	0.002053834420303345866160
4	0.0023253700654673000574
5	0.0007933238173010627017
6	-0.00023876934543019960986
7	-0.0005272895670577510
8	-0.00035212335380
9	-0.0000343947744
10	0.000205332814909

更一般地，我們可以定義出現在赫爾維茨ζ函數的羅朗級數展開式中的斯蒂爾吉斯常數$\gamma _{k}(q)$：

$\zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}(q)\;(s-1)^{n}$

在這裡，q是一個複數，Re(q)>0。由於赫爾維茨ζ函數是黎曼ζ函數的一個推廣，我們有

$\gamma _{n}(1)=\gamma _{n}\;$

參見

• 歐拉-馬歇羅尼常數
• 黎曼ζ函數
• 赫爾維茨ζ函數
• 羅朗級數

參考文獻

• 埃里克·韋斯坦因. 斯蒂尔吉斯常数. MathWorld. 
• Plouffe's inverter. 斯蒂爾吉斯常數，從0到78，精確到小數點後256位