斯蒂尔吉斯常数

斯蒂尔吉斯常数，记为$\gamma _{k}$，是出现在黎曼ζ函数的罗朗级数展开式中的数：

$\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}\;(s-1)^{n}$

斯蒂尔吉斯常数由以下的极限给出：

$\gamma _{n}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\left(\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {(\ln k)^{n}}{k}}\right)-{\frac {(\ln m)^{n+1}}{n+1}}\right)}$

还有一种积分表示法，可由柯西积分公式推出：

$\gamma _{n}={\frac {(-1)^{n}n!}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{-nix}\zeta \left(e^{ix}+1\right)dx.$

第零个常数$\gamma _{0}=\gamma =0.577...$称为欧拉-马歇罗尼常数。

最初的几个值为：

n	γn
0	0.5772156649015328606065120900824024310421
1	-0.072815845483676724860586
2	-0.0096903631928723184845303
3	0.002053834420303345866160
4	0.0023253700654673000574
5	0.0007933238173010627017
6	-0.00023876934543019960986
7	-0.0005272895670577510
8	-0.00035212335380
9	-0.0000343947744
10	0.000205332814909

更一般地，我们可以定义出现在赫尔维茨ζ函数的罗朗级数展开式中的斯蒂尔吉斯常数$\gamma _{k}(q)$：

$\zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}(q)\;(s-1)^{n}$

在这里，q是一个复数，Re(q)>0。由于赫尔维茨ζ函数是黎曼ζ函数的一个推广，我们有

$\gamma _{n}(1)=\gamma _{n}\;$

参见

• 欧拉-马歇罗尼常数
• 黎曼ζ函数
• 赫尔维茨ζ函数
• 罗朗级数

参考文献

• 埃里克·韦斯坦因. 斯蒂尔吉斯常数. MathWorld. 
• Plouffe's inverter. 斯蒂尔吉斯常数，从0到78，精确到小数点后256位