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提升指數引理

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初等數論中,指數提升引理(英語:lifting-the-exponent lemma,又稱LTE引理升冪引理)給出一些形如 的整數所含的質因數 的次數,即其p進賦值

背景

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提升指數引理的起源並不明確。該引理目前的形式和名稱也只是在過去10至20年內引起人們的關注。[1]高斯已經知道這個引理的證明中的幾個關鍵思想,並在他的《算術研究》中引用。[2]儘管該引理主要應用在數學奧林匹克競賽中,它有時也用於數學研究,例如橢圓曲線[3][4]

定理內容

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對於任意整數 , ,正整數 ,和素數 使得 ,有下述的公式:

  • 為奇數時:
    • 如果 ,那麼
    • 如果 是奇數並且 ,那麼
  • 時 :
    • 如果 為偶數,那麼
    • 如果 為奇數,那麼 。(可以從下的一般情況得出)
    • 推論:
      • 如果 ,那 因此有
  • 對任意質數
    • 如果 ,那麼
    • 如果 , 為奇數,那麼

參考資料

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  1. ^ Pavardi, A. H. (2011). Lifting The Exponent Lemma (LTE). Retrieved July 11, 2020, from http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.221.5543頁面存檔備份,存於網際網路檔案館) (Note: The old link to the paper is broken; try https://s3.amazonaws.com/aops-cdn.artofproblemsolving.com/resources/articles/lifting-the-exponent.pdf頁面存檔備份,存於網際網路檔案館) instead.)
  2. ^ Gauss, C. (1801) Disquisitiones arithmeticae. Results shown in Articles 86–87. https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235993352?tify={%22pages%22%3A%5B70%5D}頁面存檔備份,存於網際網路檔案館
  3. ^ Geretschläger, R. (2020). Engaging Young Students in Mathematics through Competitions – World Perspectives and Practices. World Scientific. https://books.google.com/books?id=FNPkDwAAQBAJ&pg=PP1頁面存檔備份,存於網際網路檔案館
  4. ^ Heuberger, C. and Mazzoli, M. (2017). Elliptic curves with isomorphic groups of points over finite field extensions. Journal of Number Theory, 181, 89–98. https://doi.org/10.1016/j.jnt.2017.05.028