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提升指数引理

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初等数论中,指数提升引理(英语:lifting-the-exponent lemma,又称LTE引理升幂引理)给出一些形如 的整数所含的质因数 的次数,即其p进赋值

背景

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提升指数引理的起源并不明确。该引理目前的形式和名称也只是在过去10至20年内引起人们的关注。[1]高斯已经知道这个引理的证明中的几个关键思想,并在他的《算术研究》中引用。[2]尽管该引理主要应用在数学奥林匹克竞赛中,它有时也用于数学研究,例如椭圆曲线[3][4]

定理内容

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对于任意整数 , ,正整数 ,和素数 使得 ,有下述的公式:

  • 为奇数时:
    • 如果 ,那么
    • 如果 是奇数并且 ,那么
  • 时 :
    • 如果 为偶数,那么
    • 如果 为奇数,那么 。(可以从下的一般情况得出)
    • 推论:
      • 如果 ,那 因此有
  • 对任意质数
    • 如果 ,那么
    • 如果 , 为奇数,那么

参考资料

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  1. ^ Pavardi, A. H. (2011). Lifting The Exponent Lemma (LTE). Retrieved July 11, 2020, from http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.221.5543页面存档备份,存于互联网档案馆) (Note: The old link to the paper is broken; try https://s3.amazonaws.com/aops-cdn.artofproblemsolving.com/resources/articles/lifting-the-exponent.pdf页面存档备份,存于互联网档案馆) instead.)
  2. ^ Gauss, C. (1801) Disquisitiones arithmeticae. Results shown in Articles 86–87. https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235993352?tify={%22pages%22%3A%5B70%5D}页面存档备份,存于互联网档案馆
  3. ^ Geretschläger, R. (2020). Engaging Young Students in Mathematics through Competitions – World Perspectives and Practices. World Scientific. https://books.google.com/books?id=FNPkDwAAQBAJ&pg=PP1页面存档备份,存于互联网档案馆
  4. ^ Heuberger, C. and Mazzoli, M. (2017). Elliptic curves with isomorphic groups of points over finite field extensions. Journal of Number Theory, 181, 89–98. https://doi.org/10.1016/j.jnt.2017.05.028