庫塔-儒可夫斯基定理(Kutta–Joukowski theorem)是空氣動力學的基本定理,計算機翼或是二維物體(例如圓柱)在均勻流體中的升力,且此流場的速度夠快,使物體的速度場是穩定及無分離的。定理顯示出,機翼產生的升力與機翼通過流體的速度、流體密度以及環量有所關聯[1]。庫塔-儒可夫斯基定理得名自德國科學家馬丁·威爾海姆·庫塔及俄國科學家尼古拉·葉戈羅維奇·茹科夫斯基,他們在二十世紀初首次提出這様的概念。庫塔-儒可夫斯基定理是考慮壓力及升力的無粘性理論,不過在典型的空氣動力學應用中,可以用來模擬實際的黏性流。
對於圍繞機翼的流體,環量被定義為與閉合迴路相切的「流體切線速度的線積分」[2],其速度的大小及方向會沿著路徑而改變。
庫塔-儒可夫斯基定理建立升力和環量的關係,類似馬格努斯效應建立旋轉和側向力的關係一樣[1]。不過此處的環量不是因為機翼的旋轉而產生,而是因為以下提及的機制而產生。由於機翼的存在,氣流的變化可以視為平移流場及旋轉流場(渦旋)的疊加。此旋轉流是由翼型的外傾角、攻角及銳利的後緣角所產生,不同於外形像龍捲風的渦旋。若離機翼夠遠時,旋轉流可以視為是由渦旋所引發的,渦旋的中心線平行二維平面。在描述機翼的庫塔-儒可夫斯基定理時,一般會假設機翼是圓柱形或是其他的茹科夫斯基翼型。
此定理和在二維流場中的翼型(或是翼展無窮大的圓柱)有關,可以計算單位翼展下的升力。當環量
已知,其升力
除以翼展下的單位翼展升力(或表示為
)可以表示為以下的方程式[3]:
![{\displaystyle L^{\prime }=-\rho _{\infty }V_{\infty }\Gamma ,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e0a21fd21eca19e5e06c7cf850f0eb3b36740f9) | | 1 |
其中
及
分別為流體密度及在翼型上游,遠離翼型位置的流體速度,
為以下線積分定義的環量(逆時針為正值)
![{\displaystyle \Gamma =\oint _{C}V\cdot d\mathbf {s} =\oint _{C}V\cos \theta \;ds\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a635eed239763f36fcb4b07fc07105c75fa4520b)
上述環量是沿著一個封閉圍道
進行,此圍道包覆著翼型或是圓柱,且沿著其正方向(逆時針)進行。其路徑需在位流的範圍內,不能在圓柱的邊界層內。被積分式
是局部流體速度沿著曲線
切線方向的分量,且
為曲線
的無窮小面積。方程式(1)是庫塔-儒可夫斯基定理中的一個形式。
Kuethe和Schetzer用以下的話描述庫塔-儒可夫斯基定理:[4]
- 任意截面積的柱形物體,其單位長度的受力等於
,方向和
垂直。
在使用庫塔-儒可夫斯基定理時,需注意環量
的計算。
一個產生升力的翼型或者具有彎度,或者是在均勻的流體中以一定攻角
(機翼弦線和平移方向的角度)平移。而且翼型需要有一個銳利的後緣。上述條件類似鳥的翅膀,有銳利的後緣,有彎度,在天空中有一定的攻角。
實際的流體是有黏性的,流體速度在翼型邊緣為零,因此若考慮黏性流體,且以翼型形狀為圍道計算環量,其環量也為零。甚至由翼形上方及下方的流體會在後緣相會,而黏滯耗散會使流體不旋轉。這稱為真實流場的庫塔條件。普朗特發現若雷諾數
夠大,攻角夠小,翼型夠薄,則流場可以分為靠近機翼小區域的黏滯層(稱為邊界層),以及其他區域的非黏性流。
庫塔和儒可夫斯基發現在計算雷諾數夠大,攻角夠小,厚度夠薄的翼型之壓力和升力時,若假定已考慮庫塔條件,可以假設整個流場是非黏性流。這稱為位流理論,在實務上結果相當接近。在非黏性流施加庫塔條件相當於計算環量。
簡單來說,類似鳥翅膀的機翼自然會產生升力,在飛行中的流場滿足庫塔條件。若使用位流理論(在計算壓力及升力時假設是非黏性流及無旋轉流,計算阻力時用普朗特邊界層來近似),要求飛行時間符合庫塔條件,會得到一個由=庫塔-儒可夫斯基定理和環量產生的升力,和實際的升力非常接近。
以下有二種推導方式,第一個是基於物理的直覺,較啟發式的推導,第二種是比較正式及技術式的推導,需要用到向量分析及複變分析的知識。
以較啟發式的說法,考慮一個薄的機翼,其翼弦為
,有無限長的翼展,在密度為
的空氣中移動。令翼和氣流有一個攻角,使翼的一側的氣流速度為
,另一側的氣流速度為
,因此其環流為
![{\displaystyle \Gamma =Vc-(V+v)c=-vc.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94583abe34b9e07abb0476a6f00b2ce1d05422a4)
機翼兩側的壓力差
可以由伯努利定律求得
![{\displaystyle {\frac {\rho }{2}}(V)^{2}+(P+\Delta P)={\frac {\rho }{2}}(V+v)^{2}+P,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9717c80f9ee5d46dc0f5ff4b40c57bf181db4ddc)
![{\displaystyle {\frac {\rho }{2}}(V)^{2}+\Delta P={\frac {\rho }{2}}(V^{2}+2Vv+v^{2}),\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c74480d34e37123a3bbff7660da641ec0d63fb57)
![{\displaystyle \Delta P=\rho Vv\qquad {\text{(ignoring }}{\frac {\rho }{2}}v^{2}),\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05da6fad66db48a8d6ae4f6716a2abfe5bbe65dd)
因此單位翼展的浮力為
![{\displaystyle L=c\Delta P=\rho Vvc=-\rho V\Gamma .\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f610a27acaa77cf5d25a0ca92f235008f99dd07)
此理論的微分版本可應用在機翼中的每一個元素,也是薄翼理論(thin-airfoil theory)的基礎。
庫塔-儒可夫斯基定理的正式推導
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首先先計算任何截面積、單位長度的長條物體在流體中的受力[5]。先令單位長度的力(以下簡稱為力)為 ,因此總受力為:
![{\displaystyle \mathbf {F} =-\oint _{C}p\mathbf {n} \,ds,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a2bbc7a552c7f5ef46050c5e102237c232a3441)
其中C為長條物體的邊緣、 為流體的靜壓、 為和長條物體表面垂直的單位向量、ds是截面積邊緣的弧狀元素。令 為法向量和垂直的夾角,上述力的分量為:
![{\displaystyle F_{x}=-\oint _{C}p\sin \phi \,ds\quad ,\qquad F_{y}=\oint _{C}p\cos \phi \,ds.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/100286c4e90891c3e770242b9481769108c71cfe)
以下是重要步驟:將上述的二維空間當作複數平面,每個向量可以用複數表示,第一個分量對應其實部數值,第二個分量對應其虛部數值,因此上述的力可以表示為:
![{\displaystyle F=F_{x}+iF_{y}=-\oint _{C}p(\sin \phi -i\cos \phi )\,ds.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f629bcb198245305db2867d34272f04089733281)
下一步是取力 的共軛複數,再做一些處理:
![{\displaystyle {\bar {F}}=-\oint _{C}p(\sin \phi +i\cos \phi )\,ds=-i\oint _{C}p(\cos \phi -i\sin \phi )\,ds=-i\oint _{C}pe^{-i\phi }\,ds.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60877a3bb77d8e6a97b0c867c0b2195130c0de95)
表面元素ds和dz的變化有關:
![{\displaystyle dz=dx+idy=ds(\cos \phi +i\sin \phi )=ds\,e^{i\phi }\qquad \Rightarrow \qquad d{\bar {z}}=e^{-i\phi }ds.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a95f9f0e2aebe2a4feb5604f09e3e78dfae7820e)
將這些代入積分中,可得:
![{\displaystyle {\bar {F}}=-i\oint _{C}p\,d{\bar {z}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/724574a070fec5c7361c3a73607dd51169564521)
接下來為了將壓力移出積分以外,應用伯努利定律。假設沒有其他外在的力場,流體的質量密度為 ,壓力 和速度 有以下的關係:
![{\displaystyle p=p_{0}-{\frac {\rho |v|^{2}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c7b5303c6993b55f1eff7d4484641086c1cc3c8)
將上式代入力的積分式,可得:
![{\displaystyle {\bar {F}}=-ip_{0}\oint _{C}d{\bar {z}}+i{\frac {\rho }{2}}\oint _{C}|v|^{2}\,d{\bar {z}}={\frac {i\rho }{2}}\oint _{C}|v|^{2}\,d{\bar {z}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96bcc503e86e9a82982f191c7d7b2e8b7e7c74a1)
還剩下一個步驟要進行:引入 ,流場的複變勢函數,和速度分量的關係是 ,其中撇號表示對複數變數z的微分。速度會相切於邊緣C,因此 ,則 ,受力的表示式可以改寫為下式:
![{\displaystyle {\bar {F}}={\frac {i\rho }{2}}\oint _{C}w'^{2}\,dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a13a9cc280d2c747fe5e48d08d8cb2b92205155)
稱為布拉烏斯-恰普雷金公式([Blasius–Chaplygin formula)。
若要得到庫塔-儒可夫斯基定理,需計算上述積分的值,根據複變分析可知,一個全純函數可以用洛朗級數來表示,根據此問題的物理特性,複變勢函數 的微分會如以下所示:
![{\displaystyle w'(z)=a_{0}+{\frac {a_{1}}{z}}+{\frac {a_{2}}{z^{2}}}+\dots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d24cafd9a56de8284ddbfee5375cdf739afb9ec1)
因為在無窮遠處的速度為有限值,此函數沒有其他高階項。因此 即為此函數在無窮遠處的導數: .
下一個任務是找出 的意義,根據留數定理可得
![{\displaystyle a_{1}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}w'\,dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e22d145f9dac760639af758e12dce4f0bc2c5827)
再計算以下的積分:
![{\displaystyle \oint _{C}w'(z)\,dz=\oint _{C}(v_{x}-iv_{y})(dx+idy)=\oint _{C}(v_{x}\,dx+v_{y}\,dy)+i\oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx)=\oint _{C}\mathbf {v} \,{ds}+i\oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74838a4954d55f380f8e0d9913d1b9ed37c3b2fe)
第一個積分即為環量,可以用 表示,第二個積分可以用以下方式計算:
![{\displaystyle \oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx)=\oint _{C}\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}}dy+{\frac {\partial \psi }{\partial x}}dx\right)=\oint _{C}d\psi =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d57f90af563b061733d7dd5a82f6f1d785de6c3)
此處 為流函數,因為邊界C本身即為流線,因此在上面流函數不會變化,即 ,因此第二個積分為零,因此:
![{\displaystyle a_{1}={\frac {\Gamma }{2\pi i}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2f1c3bf75eb1d4a3a7e8737ae580cd3ecdb59aa)
複變勢函數取平方:
![{\displaystyle w'^{2}(z)=a_{0}^{2}+{\frac {a_{0}\Gamma }{\pi iz}}+\dots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ab8215a0b8893ac7c84eb42c3347c1c5c627cd)
將上式代入布拉烏斯-恰普雷金公式中,利用留數定理算積分:
![{\displaystyle {\bar {F}}={\frac {i\rho }{2}}\left[2\pi i{\frac {a_{0}\Gamma }{\pi i}}\right]=i\rho a_{0}\Gamma =i\rho \Gamma (v_{x\infty }-iv_{y\infty })=\rho \Gamma v_{y\infty }+i\rho \Gamma v_{x\infty }=F_{x}-iF_{y}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b54e51843598a75879a3f867750aa2e6357c3c07)
因此庫塔-儒可夫斯基定理為:
![{\displaystyle F_{x}=\rho \Gamma v_{y\infty }\quad ,\qquad F_{y}=-\rho \Gamma v_{x\infty }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edb218d068bf985b214c0a64172421a4754bbcea)
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庫塔-儒可夫斯基定理預測的升力是以無粘性流的勢流理論為基礎,但若流場是穩定且無分離的,庫塔-儒可夫斯基定理的結果很接近實際的黏性流[6]。
在推導庫塔-儒可夫斯基定理時,有假設流場是無旋轉流,若在物體外有自由渦流,就像許多不穩定流的情形,此流場為旋轉流,在推導升力時就需要一些更複雜的理論。
- 小攻角下突然啟動的流場:若是機翼突然加速,或是攻角較小的情形下突然啟動的流場,在機翼後緣會連續的出現渦片泄離,此時的升力是時變不穩定的。若是小攻角下啟動的流場,渦片會延著平面的路徑,升力係數的曲線會隨時間而變化,其形式會是Wagner函數[7]。此時最終升力會如同庫塔-儒可夫斯基定理所預測的一樣,但初升力只有最終升力的一半[8]。當機翼前進七倍翼弦的距離時,其升力才會達到最終升力的90%。
- 大攻角下突然啟動的流場:若攻角夠大的話,機翼後緣的渦片一開始會是螺旋形的,理論升力在一開始會是無限大[9]。一般認為升力的曲線是隨時間單調遞增的,但在大攻角下,會有一段很短暫的時間會有升力下降的情形。
- 大攻角下啟動,有銳利的機翼前緣:若針對一片平粄,也有銳利的前緣,渦片泄離會出現在前緣,而前緣的渦片泄離有二種不同的效果:
- 1.若仍接近前緣,可以提昇Wagner升力曲線,可以增加升力。
- 2.若前緣的渦片泄離和後緣有關,引入新的後緣螺旋形渦片,延著升力增加的方向移動,則會破壞升力。
- 對於這種流場,渦升力線(VFL)圖[10]可以用來了解不同情形下渦流帶來的效果(包括流場啟動及其他的條件),也可以控制渦流以增強或降低升力。渦升力線圖是一個二維的圖,其中會繪出渦升力線,其對升力的貢獻和其速度、環量及渦升力線和流線的餘弦成正比,因此渦升力線可以看出渦流對升力的提升或破壞程度。
- Lagally定理:若在機翼外面有固定的渦源,其對升力的修正可以表示為渦源的強度,及因其他因素造成渦源處誘導速度,這稱為Lagally定理。[11]。
- 針對二相的非黏性流,傳統的庫塔-儒可夫斯基定理預測阻力為零,不過若機翼外有渦源,會產生阻力,其形成原因類似升力。
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